Enunciado

Ache o limite

underset(x -> 1^-)(lim) (⟦x^2⟧ - 1)/(x^2 - 1)

Passo 1

A primeira coisa para resolver esse limite é substituir o valor de x na expressão.

underset(x -> 1^-)(lim) (⟦x^2⟧ - 1)/(x^2 - 1)

Temos que prestar atenção naquela função ⟦x^2⟧ , ela vai dar a parte inteira do número x^2 .

Ele está pedindo o limite em 1 pela esquerda, ou seja, por números menores que 1 , então, neste caso ⟦x^2⟧ vai ser 0 . Isso porque os números próximos de 1 menores que ele são 0 virgula alguma coisa. Elevando ao quadrado ainda vai dar 0 como a parte inteira.

Então temos

underset(x -> 1^-)(lim) (⟦x^2⟧ - 1)/(x^2 - 1) = (0 - 1)/(1 - 1) = - (1)/(0)

Opa, deu um número dividido por 0 , quando isso acontecer significa que o nosso limite vai para infinito.

Aqui, falta só descobrir o sinal do infinito que ele vai, se vai ser + oo ou - oo

Para sabermos isso, precisamos analisar o sinal da expressão dentro do limite

Passo 2

Vamso olhar a expressão que ele deu

(⟦x^2⟧ - 1)/(x^2 - 1)

A questão pediu o limite lateral pela esquerda. Que é o limite por valores menores que 1 .

Repara que se pegarmos valores menores que 1 , ⟦x^2⟧ vai ser sempre menor que 1 , como vimos no passo anterior.

Assim, ⟦x^2⟧ - 1 vai ser menor que 0 .

O nosso denominador vai ser negativo, isso porque estamos pegando valores próximos de 1 mas menores que ele, o seu quadrado também vai ser menor, então quando fizermos x^2 - 1 vai dar negativo.

Uma fração com numerador negativo por um denominador negativo vai dar positivo.

O que vai fazer com que aquele oo que vimos seja + oo

underset(x -> 1^-)(lim) (⟦x^2⟧ - 1)/(x^2 - 1) = + oo

Resposta

+ oo

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