Enunciado

Prove que o teorema 2.4 . 5 :

i Se lim x → a ⁡ f x = + ∞ e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é uma constante qualquer então lim x → a ⁡ f x + g x = + ∞

i i Se lim x → a ⁡ f x = - ∞ e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é uma constante qualquer então lim x → a ⁡ f x + g x = - ∞

Passo 1

Parte i

Temos que mostrar que:

Para todo N > 0 existe δ > 0 tal que:

s e   0 < x - a < δ   e n t ã o   f x + g x > N

Para isso temos que lembrar a definição formal de limite:

lim x → a ⁡ f x = L

Quando:

Dado ϵ > 0 qualquer, existe um δ > 0 tal que

0 < x - a < δ ⇒ f x - L < ϵ

Mo coisa dois né? Mas vamos com calma que vamos entender isso. Ele disse que para qualquer ϵ positivo, vai existir outro número, o δ , que todo número que estiver a uma distância menor que δ de a vai ter o seu valor na função a um distância menor de ϵ do limite L .

Passo 2

Ele deu dois limites:

lim x → a ⁡ f x = + ∞

lim x → a ⁡ g x = c

Assim, vamos ter

Dado ϵ > 0 qualquer, existe um δ 1 > 0 e tal que

0 < x - a < δ 1 ⇒ g x - c < ϵ

E

Dado N 1 > 0 qualquer, existe um δ 2 > 0 tal que

0 < x - a < δ 2 ⇒ f x > N 1

Vamos pegar a parte com as funções:

f x > N 1

g x - c < ϵ

Vamos abrir o módulo da outra função

g x - c < ϵ

- ϵ < g x - c < ϵ

- ϵ + c < g x < ϵ + c

Passo 3

Agora, vamos tentar achar o f x + g x

- ϵ + c < g x < ϵ + c

f x > N 1

Teremos

f x + g x > N 1 + c - ϵ

Se aquele temo do lado direito por positivo, basta tomarmos N como ele.

Se c = 0 , basta pegarmos

ϵ = N 1 2

E teremos

f x + g x > N 1 2

Sendo

N = N 1 2

Se c > 0 , basta pegarmos

ϵ = c 2

E teremos

f x + g x > N 1 + c 2

Tomando

N = N 1 + c 2

Se c < 0 , basta pegarmos

ϵ = - c

E

N 1 = - 3 c

f x + g x > - c

Basta pegarmos

N = - c

Que é maior que 0 em todos os casos.

Passo 4

Agora vamos juntar tudo:

Dado ϵ > 0 e N > 0 , qualquer, existe um δ 1 > 0 e δ 2 > 0 tal que

0 < x - a < δ 2 ⇒ f x > N

0 < x - a < δ 1 ⇒ g x - c < ϵ

Chegamos em:

0 < x - a < δ 1 ,     0 < x - a < δ 2 ⇒ g x + f x > N 1 + c - ϵ

Para juntar as duas inequações de δ 1 e δ 2 , pegamos o menor valor dos dois, porque assim isso vai garantir as duas inequações.

δ = min ⁡ δ 1 , δ 2

Assim:

0 < x - a < δ ⇒ g x + f x > N 1 + + c - ϵ

Tomando

s e   c = 0 ,     ϵ = N 1 2   e   N = N 1 2

s e   c < 0 ,     ϵ = - c ,   N 1 = - 3 c   e   N = - c

s e   c > 0 ,     ϵ = c 2   e     N = N 1 + c 2

Temos uma relação direta, então para todo N maior que 0 , garantimos que

0 < x - a < δ ⇒ g x + f x > N

Passo 5

Parte i i

Temos que mostrar que:

Para todo N < 0 existe δ > 0 tal que:

s e   0 < x - a < δ   e n t ã o   f x + g x < N

Ele deu dois limites:

lim x → a ⁡ f x = - ∞

lim x → a ⁡ g x = c

Assim, vamos ter

Dado ϵ > 0 qualquer, existe um δ 1 > 0 e tal que

0 < x - a < δ 1 ⇒ g x - c < ϵ

E

Dado N 1 < 0 qualquer, existe um δ 2 > 0 tal que

0 < x - a < δ 2 ⇒ f x < N 1

Vamos pegar a parte com as funções:

f x < N 1

g x - c < ϵ

Vamos abrir o módulo da outra função

g x - c < ϵ

- ϵ < g x - c < ϵ

- ϵ + c < g x < ϵ + c

Passo 6

Agora, vamos tentar achar o f x + g x

- ϵ + c < g x < ϵ + c

f x < N 1

Teremos

f x + g x < N 1 + ϵ + c

Se aquele temo do lado direito por positivo, basta tomarmos N como ele. Mas isso vai depender de c

Se c = 0 , basta tomarmos:

ϵ = - N 1 2

Assim teríamos

f x + g x < N 1 2

Bastaria tomar

N = N 1 2

Passo 7

Se tivemos c < 0

Então vamos pegar

ϵ = - c 2

f x + g x < N 1 + c 2

Bastaria tomar

N = N 1 + c 2

Se c > 0 , pegaremos

ϵ = c 2

e

N 1 = - 2 c

f x + g x > - c 2

Basta pegarmos

N = c 2

Passo 8

Agora vamos juntar tudo:

Dado ϵ > 0 e N > 0 , qualquer, existe um δ 1 > 0 e δ 2 > 0 tal que

0 < x - a < δ 2 ⇒ f x > N

0 < x - a < δ 1 ⇒ g x - c < ϵ

Chegamos em:

0 < x - a < δ 1 ,     0 < x - a < δ 2 ⇒ g x + f x < N 1 + ϵ + c

Para juntar as duas inequações de δ 1 e δ 2 , pegamos o menor valor dos dois, porque assim isso vai garantir as duas inequações.

δ = min ⁡ δ 1 , δ 2

Assim:

0 < x - a < δ ⇒ g x + f x > N 1 + + ϵ + c

Tomando

s e   c = 0 ,     ϵ = - N 1 2   e   N = N 1 2

s e   c < 0 ,     ϵ = - c 2   e   N = N 1 + c 2

s e   c > 0 ,     ϵ = c 2   e   N 1 = - 2 c   e   N = c 2

Temos uma relação direta, então para todo N menor que 0 , garantimos que

0 < x - a < δ ⇒ g x + f x < N

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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