Enunciado

Ache o limite

underset(y -> - oo)(lim) (sqrt(y^4 + 1))/(2 y^2 - 3)

Passo 1

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com y indo para oo .

Pera, mas tem uma raiz? Não importa. Tem um polinômio dentro da Raiz? Então vamos usar a mesma ideia desse tipo de questão.

Para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

(sqrt(y^4 + 1))/(2 y^2 - 3)

Passo 2

O nosso numerador é

sqrt(y^4 + 1)

Colocando y^4 em evidência dentro da raiz, vamos ter

sqrt(y^4 (1 + (1)/(y^4)))

Podemos tirar aquele y^4 da raiz.

Temos

sqrt(y^4) = y^2

E não precisamos nos preocupar com essa raiz. Lembrando que ela precisa ser sempre positiva, então deveríamos colocar um módulo mas como y^2 é sempre positivo, NESSE CASO, não precisamos colocar

Nosso numerador vai ficar

y^2 sqrt((1 + (1)/(y^4)))

Passo 3

O nosso denominador vai ser

2 y^2 - 3

Colocando y^2 em evidência

y^2 (2 - (3)/(y^2))

Passo 4

A nossa fração vai ficar

(sqrt(y^4 + 1))/(2 y^2 - 3) = (y^2 sqrt((1 + (1)/(y^4))))/(y^2 (2 - (3)/(y^2))) = (sqrt((1 + (1)/(y^4))))/(2 - (3)/(y^2))

Agora, vamos tomar o limite

underset(y -> - oo)(lim) (sqrt(y^4 + 1))/(2 y^2 - 3) = underset(y -> - oo)(lim) (sqrt((1 + (1)/(y^4))))/(2 - (3)/(y^2))

Lembrando que o limite de um número sobre oo é sempre 0 , vamos ter

underset(y -> - oo)(lim) (sqrt((1 + (1)/(y^4))))/(2 - (3)/(y^2)) = (sqrt((1 + 0)))/(2 - 0) = (sqrt(1))/(2) = (1)/(2)

Resposta

(1)/(2)

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