Enunciado

Ache o limite

lim r → + ∞ ⁡ 3 r 2 + r - 2 r

Sugestão: Primeiro obtenha uma fração com um numerador racional.

Passo 1

Se tentarmos substuir o infinito vamos achar uma indeterminação. Vamos seguir a sugestão dele. Mas como fazermos isso?

Quando nos depararmos com uma subtração de tendo um dos termos sendo uam raiz quadrada, basta multiplicarmos pelo conjugado.

Vamos olhar a fração:

3 r 2 + r - 2 r

Vamos multiplicar da seguinte forma:

3 r 2 + r - 2 r 1 . 3 r 2 + r + 2 r 3 r 2 + r + 2 r = 3 r 2 + r 2 - 2 r 2 3 r 2 + r + 2 r = 3 r 2 + r - 4 r 2 3 r 2 + r + 2 r = - r 2 + r 3 r 2 + r + 2 r

Opa, chegamos na fração que ele queria.

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com r indo para .

Pera, mas tem uma raiz? Não importa. Tem um polinômio dentro da Raiz? Então vamos usar a mesma ideia desse tipo de questão.

Para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

- r 2 + r 3 r 2 + r + 2 r

Passo 2

O nosso numerador é

- r 2 + r

Colocando r 2 em evidência, vamos ter:

r 2 - 1 + 1 r

Passo 3

O nosso Denominador é

3 r 2 + r + 2 r

Colocando r 2 em evidência dentro da raiz, vamos ter

r 2 3 + 1 r

Podemos tirar aquele r 2 da raiz.

Temos

r 2 = r

Lembrando que ela precisa ser sempre positiva, então devemos colocar um módulo quando cortarmos a potência com a raiz.

Nosso denominador vai ficar

r r 2 3 + 1 r + 2 r

Como ele está pedindo o limite em + ∞ , os valores de x r são positivos. Então,

r = r

Nossa fração vai ficar:

r 3 + 1 r + 2 r

Agora colocarmos o r em evidência em tudo.

r 3 + 1 r + 2

Passo 4

A nossa fração vai ficar

- r 2 + r 3 r 2 + r + 2 r = r 2 - 1 + 1 r r 3 + 1 r + 2 = r - 1 + 1 r 3 + 1 r + 2

Agora, vamos tomar o limite

lim r → + ∞ ⁡ - r 2 + r 3 r 2 + r + 2 r = lim r → + ∞ ⁡ r - 1 + 1 r 3 + 1 r + 2

Lembrando que o limite de um número sobre é sempre 0 , vamos ter

lim r → + ∞ ⁡ r - 1 + 1 r 3 + 1 r + 2 = + ∞ - 1 + 0 3 + 0 + 2 = - ∞ 3 + 2 = - ∞

Resposta

- ∞

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