Enunciado

Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função

f x = - 1 x 2 + 5 x + 6

Passo 1

Vamos começar pelas assíntotas horizontais.

Para encontra-las demos que calcular dois limites

lim x → + ∞ ⁡ f x

E

lim x → - ∞ ⁡ f x

Se algum desses limites der algum número, então teremos assíntotas horizontais.

Vamos começar com

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ - 1 x 2 + 5 x + 6

Temos que x 2 + 5 x + 6 vai para + ∞ quando x → ∞

Isso porque

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 5 x + 6 = + ∞ + 5 + ∞ + 6

Multiplicar por - 5 e depois somar 6 não vai influenciar no + ∞ . Então o denominador vai para + ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ - 1 x 2 + 5 x + 6 = - 1 ∞

Quando temos um número sobre esse limite vai para 0

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ - 1 x 2 + 5 x + 6 = - 1 ∞ = 0

Assim, temos

y = 0

Como uma assíntota horizontal.

Passo 2

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ - 1 x 2 + 5 x + 6

Temos que x 2 + 5 x + 4 vai para + ∞ quando x → - ∞

Isso porque um polinômio tem o mesmo comportamento que o seu termo de maior grau.

Então como temos x 2 , vamos ficar com:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 5 x + 6 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 = - ∞ 2 = + ∞

Então o denominador vai para + ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ - 1 x 2 + 5 x + 6 = - 1 ∞

Quando temos um número sobre esse limite vai para 0

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ - 1 x 2 + 5 x + 6 = - 1 ∞ = 0

Assim, temos

y = 0

Como uma assíntota horizontal.

Passo 3

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

x 2 + 5 x + 6 = 0

x 2 + 5 x + 6 = 0

Resolvendo por Bhaskaras, vamos ter

x = - 2

x = - 3

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais para cada valor de x . Só que aqui, temos que tomar cuidado com um detalhe importante.

Temos o x 2 + 5 x + 6 dentro de uma raiz quadrada. Então ele não pode ser negativo, dessa forma, se pegarmos valores entre - 3 e - 2 , a expressão x 2 + 5 x + 6 vai ser negativa.

Como podemos garantir isso? Vamos olhar o gráfico dessa função de segundo grau.

Mas o que isso significa para nós? Não vamos nos preocupar com os limites laterais pela direita de - 3 e pela esquerda de - 2 , para não pegarmos números nesse intervalo,

Assim, vamos olhar apenas os seguintes limites laterais.

lim x → - 2 + ⁡ f x

E

lim x → - 3 - ⁡ f x

Passo 4

Começando com

lim x → - 2 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 2 + ⁡ - 1 x 2 + 5 x + 6 = - 1 - 2 2 + 5 - 2 + 6 = - 1 4 - 10 + 6 = - 1 0 = - 1 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 2 , neste caso, pela direita.

Aqui não precisamos ficar achando lógicas loucas, basta olhar que raiz quadrada é sempre positiva, então aquela fração sempre vai ser negativa, isso porque o numerador é negativo.

E isso nos diz que

lim x → - 2 + ⁡ - 1 x 2 + 5 x + 6 = - ∞

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , temos que

x = - 2

É assíntota vertical.

Passo 5

Começando com

lim x → - 3 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 3 - ⁡ - 1 x 2 + 5 x + 6 = - 1 - 2 2 + 5 - 2 + 6 = - 1 4 - 10 + 6 = - 1 0 = - 1 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 3 , neste caso, pela esquerda.

Aqui não precisamos ficar achando lógicas loucas, basta olhar que raiz quadrada é sempre positiva, então aquela fração sempre vai ser negativa, isso proque o numerador é negativo.

E isso nos diz que

lim x → - 2 - ⁡ - 1 x 2 + 5 x + 6 = - ∞

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , temos que

x = - 3

É assíntota vertical.

Passo 6

No final temos

x = - 3

E

x = - 2

Como assíntotas verticais.

Vamos juntar com nossa assíntota horizontal

y = 0

E ver como fica o esboço.

O esboço vai ficar

Resposta

Assíntota horizontal:

y = 0

Assíntota vertical:

x = - 3

x = - 2

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Ache o limite lim t → + ∞ ⁡ 2 t + 1 5 t - 2
Ache o limite lim x → - ∞ ⁡ 4 x 3 + 2 x 2 - 5 8 x 3 + x + 2
Ache o limite lim x → + ∞ ⁡ x + 4 3 x 2 - 5
Ache o limite lim x → - ∞ ⁡ 2 x + 7 4 - 5 x
Ache o limite lim y → + ∞ ⁡ 2 y 3 - 4 5 y + 3