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Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função

f x = 4 x 2 x 2 - 4

Passo 1

Vamos começar pelas assíntotas horizontais.

Para encontra-las demos que calcular dois limites

lim x → + ∞ ⁡ f x

E

lim x → - ∞ ⁡ f x

Se algum desses limites der algum número, então teremos assíntotas horizontais.

Vamos começar com

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 4 x 2 x 2 - 4

Temos que x 2 - 4 vai para + ∞ quando x → ∞

Isso porque

lim x → ∞ ⁡ x 2 - 4 = + ∞ - 4

Aquele - 4 não vai influenciar no + ∞ . Então o denominador vai para + ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 - 4 = 2 ∞

Quando temos um número sobre esse limite vai para 0

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 - 4 = 2 ∞ = 0

Assim, temos

y = 0

Como uma assíntota horizontal.

Passo 2

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 - 4

Temos que x 2 - 4 vai para + ∞ quando x → - ∞

Isso porque

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 4 = - ∞ 2 - 4 = + ∞ - 4

Aquele - 4 não vai influenciar no + ∞ . Então o denominador vai para + ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 - 4 = 2 ∞

Quando temos um número sobre esse limite vai para 0

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 - 4 = 2 ∞ = 0

Assim, temos

y = 0

Como uma assíntota horizontal.

Passo 3

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

x 2 - 4 = 0

x 2 - 4 = 0

x 2 = 4

x = ± 4

x = ± 2

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais para cada valor de x . Só que aqui, temos que tomar cuidado com um detalhe importante.

Temos o x 2 - 4 dentro de uma raiz quadrada. Então ele não pode ser negativo, dessa forma, se pegarmos valores entre - 2 e 2 , ao elevarmos ao quadrado vai dar menor que 4 , então não podemos pegar nada nesse intervalo.

Mas o que isso significa para nós? Não vamos nos preocupar com os limites laterais pela direita de - 2 e pela esquerda de 2 , para não pegarmos números nesse intervalo,

Assim, vamos olhar apenas os seguintes limites laterais.

lim x → 2 + ⁡ f x

E

lim x → - 2 - ⁡ f x

Passo 4

Começando com

lim x → 2 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 2 + ⁡ 2 x 2 - 4 = 2 2 2 - 4 = 2 4 - 4 = 2 0 = 2 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 2 , neste caso, pela direita.

Aqui não precisamos ficar achando lógicas loucas, basta olhar que raiz quadrada é sempre positiva, então aquela fração sempre vai ser positiva.

E isso nos diz que

lim x → 2 + ⁡ 2 x 2 - 4 = + ∞

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , temos que

x = 2

É assíntota vertical.

Passo 5

Começando com

lim x → - 2 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 2 - ⁡ 2 x 2 - 4 = 2 2 2 - 4 = 2 4 - 4 = 2 0 = 2 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 2 , neste caso, pela esquerda.

Aqui não precisamos ficar achando lógicas loucas, basta olhar que raiz quadrada é sempre positiva, então aquela fração sempre vai ser positiva.

E isso nos diz que

lim x → - 2 - ⁡ 2 x 2 - 4 = + ∞

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , temos que

x = - 2

É assíntota vertical.

Passo 6

No final temos

x = 2

E

x = - 2

Como assíntotas verticais.

Vamos juntar com nossa assíntota horizontal

y = 4

E ver como fica o esboço.

O esboço vai ficar

Resposta

Assíntota horizontal:

y = 2

Assíntota vertical:

x = 2

x = - 2

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