Ache o valor exato da quantidade dada.

tan(2 \* arcsec(-5/4))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. Olhando no apêndice F2 deste livro temos a fórmula da tangente do arco duplo:

tan ⁡ 2 x = 2 tan ⁡ x 1 - tan 2 ⁡ x

Assim, chamando x = arcsec ⁡ - 5 4 , queremos calcular

tan ⁡ 2 arcsec ⁡ - 5 4 = 2 tan ⁡ x 1 - tan 2 ⁡ x

Desta forma, precisamos calcular tan ⁡ x = tan ⁡ arcsec ⁡ - 5 4 .

Passo 2

Vamos chamar

x = arcsec ⁡ - 5 4 ⇒ sec ⁡ x = - 5 4

Analisando a imagem da função arco secante, vemos que y está no terceiro quadrante, de modo que tan ⁡ x < 0 . Usando a relação fundamental:

1 + tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x ⇒ 1 + tan 2 ⁡ x = 25 16 ⇒ tan ⁡ x = - 3 4

Assim, temos que

tan ⁡ arcsec ⁡ - 5 4 = tan ⁡ x = - 3 4

Portanto,

tan ⁡ 2 arcsec ⁡ - 5 4 = tan ⁡ 2 x = 2 tan ⁡ x 1 - tan 2 ⁡ x = - 3 / 2 1 - 9 16 = - 3 / 2 7 / 16

Desta forma,

tan ⁡ 2 arcsec ⁡ - 5 4 = - 3 ⋅ 16 7 ⋅ 2 = - 24 7

Resposta

- 24 7

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