Enunciado

Ache o valor exato da quantidade dada.

tan (2 arcsec (- (5)/(4)))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. Olhando no apêndice F2 deste livro temos a fórmula da tangente do arco duplo:

tan 2 x = (2 tan x)/(1 - tan^2 x)

Assim, chamando x = arcsec (- (5)/(4)) , queremos calcular

tan (2 arcsec (- (5)/(4))) = (2 tan x)/(1 - tan^2 x)

Desta forma, precisamos calcular tan x = tan (arcsec (- (5)/(4))) .

Passo 2

Vamos chamar

x = arcsec (- (5)/(4)) => sec x = - (5)/(4)

Analisando a imagem da função arco secante, vemos que y está no terceiro quadrante, de modo que tan x < 0 . Usando a relação fundamental:

1 + tan^2 x = sec^2 x => 1 + tan^2 x = (25)/(16) => tan x = - (3)/(4)

Assim, temos que

tan (arcsec (- (5)/(4))) = tan x = - (3)/(4)

Portanto,

tan (2 arcsec (- (5)/(4))) = tan 2 x = (2 tan x)/(1 - tan^2 x) = (- 3 // 2)/(1 - (9)/(16)) = (- 3 // 2)/(7 // 16)

Desta forma,

tan (2 arcsec (- (5)/(4))) = - (3 * 16)/(7 * 2) = - (24)/(7)

Resposta

- (24)/(7)

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