Enunciado

46. A base de um sólido é a região encerrada por um círculocom um raio de r unidades, e todas as secções planas perpendiculares a um diâmetro fixo da base são triângulos retângulos isósceles, com a hipotenusa no plano da base. Ache o volume do sólido.

Passo 1

A questão fala que a base da figura é um circulo e em cima da base tem vários triângulos isósceles,se liga na imagem:

Para montarmos a integral precisamos da área desse triangulo, a qual será dada por

A x = b a s e   x   a l t u r a 2    

A base será 2 y .

A altura será encontrada usando um pouco de trigonometria:

t g 45 ° = h y ( considerando apenas metade do triangulo de base y)

⇒ h = 1 ⋅ y  

A = y 2    

Passo 2

Iremos reescrever y em função de x, para isso usaremos Pitágoras:

y 2 + x 2 = r 2

y =   r 2 - x 2

Então, A ( x ) poderá ser reescrito como

A x = r 2 - x 2

Passo 3

A integral ficará assim:

V = ∫ a b A ( x )   d x

V = ∫ - r r r 2 - x 2   d x

V = 2 ∫ 0 r r 2 - x 2   d x

= 2 r 2 x - 2 x 3 3 | 0 r

= 2 r 2 r - 2 r 3 3 - 0

= 4 r 3 3

Resposta

= 4 r 3 3

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