Prove que:

Passo 1

Bora lá! Para realizarmos essa prova, vamos assumir que:

y = a r c sec ⁡ ( - x )

Sendo assim, aplicando a função s e c nos dois lados da igualdade teremos que:

sec ⁡ ( y ) = - x

- sec ⁡ ( y ) = x

Passo 2

Para continuarmos a nossa prova, teremos que nos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

sec ⁡ ( A - B ) = 1 cos ⁡ ( A - B )

Assumindo A = π e B = y , temos que:

sec ⁡ ( π - y ) = 1 cos ⁡ ( π - y )

Agora, devemos nos lembrar de outra propriedade trigonométrica, que é essa aqui:

cos ⁡ ( A - B ) = cos ⁡ A . cos ⁡ ( B ) + s e n A . s e n ( B )

Sendo assim:

sec ⁡ ( π - y ) = 1 cos ⁡ ( π - y )

= 1 cos ⁡ π . cos ⁡ ( y ) + s e n π . s e n ( y )

= 1 - 1 . cos ⁡ ( y ) + 0 . s e n ( y )

= 1 - cos ⁡ ( y ) = - sec ⁡ ( y )

Logo, temos que:

sec ⁡ ( π - y ) = - sec ⁡ ( y )

Passo 3

Voltando para a nossa prova e utilizando a informação que acabamos de encontrar, podemos afirmar que:

- sec ⁡ ( y ) = x

sec ⁡ ( π - y ) = x

Aplicando a função inversa de s e c ( a r c   s e c ) nos dois lados da igualdade:

π - y = a r c sec ⁡ x

- y = - π + a r c sec ⁡ ( x )

y = π - a r c sec ⁡ ( x )

Opa! Lembra que assumimos y = a r c sec ⁡ ( - x ) ? Substituindo:

a r c sec ⁡ ( - x ) = π - a r c sec ⁡ ( x )

Prontinho, agora sim! Acabamos de provar que a r c sec ⁡ ( - x ) = π - a r c sec ⁡ ( x ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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