Enunciado

Prove que:

Passo 1

Bora lá! Para realizarmos essa prova, vamos assumir que:

y = a r c sec ( - x )

Sendo assim, aplicando a função s e c nos dois lados da igualdade teremos que:

sec ( y ) = - x

- sec ( y ) = x

Passo 2

Para continuarmos a nossa prova, teremos que nos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

sec ( A - B ) = (1)/(cos ( A - B ))

Assumindo A = pi e B = y , temos que:

sec ( pi - y ) = (1)/(cos ( pi - y ))

Agora, devemos nos lembrar de outra propriedade trigonométrica, que é essa aqui:

cos ( A - B ) = cos (A) . cos ( B ) + s e n (A) . s e n ( B )

Sendo assim:

sec ( pi - y ) = (1)/(cos ( pi - y ))

= (1)/(cos (pi) . cos ( y ) + s e n (pi) . s e n ( y ))

= (1)/(- 1 . cos ( y ) + 0 . s e n ( y ))

= (1)/(- cos ( y )) = - sec ( y )

Logo, temos que:

sec ( pi - y ) = - sec ( y )

Passo 3

Voltando para a nossa prova e utilizando a informação que acabamos de encontrar, podemos afirmar que:

- sec ( y ) = x

sec ( pi - y ) = x

Aplicando a função inversa de s e c ( a r c s e c ) nos dois lados da igualdade:

pi - y = a r c sec (x)

- y = - pi + a r c sec ( x )

y = pi - a r c sec ( x )

Opa! Lembra que assumimos y = a r c sec ( - x ) ? Substituindo:

a r c sec ( - x ) = pi - a r c sec ( x )

Prontinho, agora sim! Acabamos de provar que a r c sec ( - x ) = pi - a r c sec ( x ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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