Enunciado

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Se ar² + br + c = 0 tem raízes iguais r1, mostre que

Como a última expressão à direita na Eq. (i) é nula quando r = r1, segue que exp(r1t) é uma solução de L[y] = ay′′ + by′ + cy = 0.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser pensar que, por ser linear e homogênea, teremos a solução no seguinte formato:

L e r t = a e r t ' ' + b e r t ' + c e r t

L e r t = ( a r 2 + b r + c ) e r t

Como r1 é raiz da equação característica, temos:

c =   - a r 1 2 - b r 1

L e r t = a   r + r 1 + b a ( r - r 1 ) e r t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

r =   - b 2 a = r 1

L e r t = a ( r - r 1 ) ² e r t

Resposta

L e r t = a ( r - r 1 ) ² e r t

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