Enunciado

Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce.

y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0 ,     y 0 = 0 ,                       y ' 0 = 2 .

Passo 1

Primeiro temos que encontrar as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara. Vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

x 2 - 6 x + 9 = 0

Sendo: a = 1 ,   b = - 6 ,   c = 9 .

Então para encontrar o usamos a fórmula de Bhaskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos 2 raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos 2 raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r x + C 2 x e r x

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos 2 raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   x   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - ( - 6 ) ± - 6 2 - 4 . 1.9 2 . 1

x = 6 ± 36 - 36 2.1

x = 6 ± 0 2

x = 6 ± 0 2

x ' = 6 + 0 2 = 3 ,     x ' ' = 6 - 0 2 = 3

Passo 2

Como ∆ = 0 , a solução é:

y = C 1 e r x + C 2 x e r x

Substituindo os valores das raízes e levando em consideração que nossa resposta está em função de t e não de x :

y = C 1 e 3 t + C 2 t e 3 t

Falta achar o valor dessas constantes!

Passo 3

Agora vamos descobrir o valor das constantes através do valor inicial dado. Seja:

y = C 1 e 3 t + C 2 t e 3 t

y 0 = 0

Teremos:

0 = C 1 ∙ e 0 + C 2 ∙ 0 ∙ e 0

C 1 = 0

E seja:

y ' = 3 C 1 e 3 t + C 2 e 3 t + 3 C 2 t e 3 t

y ' = C 2 e 3 t + 3 C 2 t e 3 t

y ' 0 = 2

Teremos:

2 = C 2 ∙ e 0 + 3 C 2 ∙ 0 ∙ e 0

C 2 = 2

Nossa solução geral será então:

y = C 1 e 3 t + C 2 t e 3 t

y = 2 t e 3 t

E seu comportamento gráfico é:

Resposta

y = 2 t e 3 t

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