Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Capítulo 3.4 - Ex. 30

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desse livro

Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser pensar que, por ser linear e homogênea, teremos a solução no seguinte formato:

y x = c x x - 1 2 sin ⁡ x

x ² c x x - 1 2 sin ⁡ x ' ' + x c x x - 1 2 sin ⁡ x ' + x 2 - 0,25 c x x - 1 2 sin ⁡ x = 0

c ' ' x + 2 cos ⁡ x sin ⁡ x c ' x = 0

c ' ' x c ' x =   - 2 cos ⁡ x sin ⁡ x

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

c ' ( x ) = e C 1 csc ⁡ x 2

c x = C 3 cot ⁡ x + C 2

y x =     C 3 x - 1 2 cos ⁡ x + C 2 x - 1 2 sin ⁡ x

Resposta

y x =     C 3 x - 1 2 cos ⁡ x + C 2 x - 1 2 sin ⁡ x

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