Com auxílio do Exercício 17, resolva a equação dada.

x^2 * y'' - (k^2 * x^3 + 5 / 16) * y = 0, x > 0

Passo 1

Queremos usar o resultado do exercício 17 para resolver a equação:

x 2 y ' ' - k 2 x 3 + 5 16 y = 0 ,     x > 0

No exercício 17 vimos que a solução da equação

y ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4   y

é

y = h x k 1 e p x + k 2 e - p x

onde

p ' x = k h x 2

Assim, temos identificar quem é h e p nesse para a equação:

x 2 y ' ' - k 2 x 3 + 5 16 y = 0 ,     x > 0

Passo 2

Isolando y ' ' :

y ' ' = 5 16 x 2 + k 2 1 / x   y

Comparando com

y ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4 y

vemos que

h x 4 = 1 x = x - 1 ⇒ h x = x - 1 4

Portanto,

h ' x = - 1 4 x - 5 4 ⇒ h ' ' x = 5 16 x - 9 4

Logo,

h ' ' x h ( x ) = 5 16 x - 9 4 x - 1 4 = 5 16 x 2

Até aqui, tudo OK 😊

Como

p ' x = k h x 2

temos que

p ' x = k x - 1 4 2 = k x - 1 / 2 = k x 1 2

Passo 3

Integrando com relação a x :

p x = ∫ k x 1 / 2   d x = 2 k 3 x 3 / 2

Portanto,

y = h ( x ) k 1 e p x + k 2 e - p x = x - 1 / 4 k 1 e 2 k 3 x 3 / 2 + k 2 e - 2 k 3 x 3 / 2

Desta forma, a solução geral da equação é

y x = x - 1 / 4 k 1 e 2 k 3 x 3 / 2 + k 2 e - 2 k 3 x 3 / 2

Resposta

y x = x - 1 / 4 k 1 e 2 k 3 x 3 / 2 + k 2 e - 2 k 3 x 3 / 2

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