Com auxílio do Exercício 17, resolva a equação dada.

e^(4x) * y'' - (k^2 + e^(4x)) * y = 0

Passo 1

Queremos usar o resultado do exercício 17 para resolver a equação:

e 4 x y ' ' - k 2 + e 4 x y = 0

No exercício 17 vimos que a solução da equação

y ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4   y

é

y = h x k 1 e p x + k 2 e - p x

onde

p ' x = k h x 2

Assim, temos identificar quem é h e p nesse para a equação:

e 4 x y ' ' - k 2 + e 4 x y = 0

Passo 2

Isolando y ' ' :

y ' ' = 1 + k 2 e 4 x   y

Comparando com

y ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4 y

vemos que

h x 4 = e 4 x ⇒ h x = e 4 x 1 4 = e x

Portanto,

h ' x = e x ⇒ h ' ' x = e x

Logo,

h ' ' x h ( x ) = e x e x = 1

Até aqui, tudo OK 😊

Como

p ' x = k h x 2

temos que

p ' x = k e x 2 = k e 2 x

Passo 3

Integrando com relação a x :

p x = ∫ k e 2 x   d x = ∫ k e - 2 x   d x = - k 2 e - 2 x = - k 2 e 2 x

Portanto,

y = h ( x ) k 1 e p x + k 2 e - p x = e x k 1 e - k 2 e 2 x + k 2 e k 2 e 2 x

Desta forma, a solução geral da equação é

y x = e x k 1 e - k 2 e 2 x + k 2 e k 2 e 2 x

Resposta

y x = e x k 1 e - k 2 e 2 x + k 2 e k 2 e 2 x

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