Mostre que a mudança de variável y = x^(-1/2) * u , x > 0 , transforma a equação de Bessel x^2 * y'' + x * y' + (x^2 - α^2) * y = 0 em x^2 * u'' + (x^2 - 1/4 - α^2) * u = 0 .

Passo 1

Legal, o enunciado forneceu para gente a equação

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - α 2 y = 0

Foi pedido para fazermos a substituição y = x - 1 2   u . Derivando uma vez:

y ' = - 1 2 x - 3 2   u + x - 1 2   u '

Derivando de novo:

y ' ' = 3 4 x - 5 2   u - 1 2 x - 3 2   u ' - 1 2 x - 3 2   u ' + x - 1 2   u ' '

Ou ainda,

y ' ' = 3 4 x - 5 2   u - x - 3 2   u ' + x - 1 2   u ' '

Passo 2

Substituindo y ' , y ' ' e y na equação original:

x 2 3 4 x - 5 2   u - x - 3 2   u ' + x - 1 2   u ' ' + x - 1 2 x - 3 2   u + x - 1 2   u ' + x 2 - a 2 x - 1 2 u = 0

Rearranjando os termos:

x 3 2   u ' ' + - x 1 2 + x 1 2 u ' + 3 4 x - 1 2 - 1 2 x - 1 2 + x 3 2 - a 2 x - 1 2   u = 0

Assim,

x 3 2   u ' ' + 1 4 x - 1 2 - a 2 x - 1 2 + x 3 2   u = 0

Multiplicando a equação por x 1 / 2 :

x 2 u ' ' + 1 4 - a 2 + x 2   u = 0

Ou ainda,

x 2 u ' ' + x 2 + 1 4 - a 2   u = 0

Obtivemos um resultado com sinal diferente do enunciado no termo 1 / 4 . Provavelmete foi um erro de digitação do enunciado.

Resposta

Demonstração.

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