Avalie a integral.

∫ 1 x + 4 + 4 x + 1 d x

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos uma divisão, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, então fazemos substituições!!

Para o valor de u , vamos ter

u = x + 1  

Se quisermos o valor de x , teremos x = u 2 - 1 e a derivada disso é d x = 2 u d u . Substituimos os valores:

∫ 1 x + 4 + 4 x + 1 d x = ∫ 2 u u 2 - 1 + 4 + 4 u d u  

Agora simplificamos a equação:

∫ 2 u u 2 + 3 + 4 u d u   = - ∫ - 1 u + 1 - 3 u + 3 d u

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

- ∫ - 1 u + 1 - 3 u + 3 d u = 3 ln ⁡ u + 3 - ln ⁡ u + 1 + C

Portanto, substituindo o valor de u :

∫ 1 x + 4 + 4 x + 1 d x = 3 ln ⁡ x + 1 + 3 - ln ⁡ x + 1 + 1 + C

Prontinho!!

Resposta

∫ 1 x + 4 + 4 x + 1 d x = 3 ln ⁡ x + 1 + 3 - ln ⁡ x + 1 + 1 + C

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