Enunciado

Avalie a integral:

int_0^1 (1 + 12 t)/(1 + 3 t) d t

Passo 1

Vamos começar reescrevendo a expresão:

(1 + 12 t)/(1 + 3 t) = (4 + 12 t - 3)/(1 + 3 t) = (4 + 12 t)/(1 + 3 t) - (3)/(1 + 3 t)

E na primeira fração, o numerador é quatro vezes o denominador, então:

(1 + 12 t)/(1 + 3 t) = 4 - (3)/(1 + 3 t)

Então a nossa integral indefinida fica:

I = int (1 + 12 t)/(1 + 3 t) d t = int 4 - (3)/(1 + 3 t) d t

I = int 4 d t - int (3)/(1 + 3 t) d t

Passo 2

E as duas integrais que sobraram são bem conhecidas!

int 4 d t = 4 t + C

- int (3)/(1 + 3 t) d t = - ln |1 + 3 t| + C

Então:

I = 4 t - ln |1 + 3 t| + C

Agora precisamos avaliar isso quando t varia de t = 0 até t = 1 :

int_0^1 (1 + 12 t)/(1 + 3 t) d t = 4 (1) - ln |1 + 3 (1)| - 4 (0) + ln |1 + 3 (0)|

E como ln 1 = 0 e ln 4 = 2 ln 2 , temos:

int_0^1 (1 + 12 t)/(1 + 3 t) d t = 4 - 2 ln 2

Resposta

A integral vale 4 - 2 ln 2 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.A função f x = e - x + 1 é uma solução do problema de valor inicial d y d x = - 1 e x ,y 0 = 1
Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação. ∫ ϕ + 2 s e n 2 ϕ d ϕ
Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação. ∫ sec ⁡ θ cos ⁡ θ d θ
Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação. ∫ 3 s e n x - 2 s e c 2 x d x
Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação. ∫ 2 x + 3 e x d x