Avalie a integral:

∫ 0 1 3 x 2 + 1 x 3 + x 2 + x + 1   d x

Passo 1

Vamos começar olhando apenas para a integral indefinida:

I = ∫ 3 x 2 + 1 x 3 + x 2 + x + 1   d x

O polinômio que está no denominador é bastante simples, então podemos usar nossa intuição pra encontrar uma das suas raízes. Vamos tentar x = - 1 :

- 1 3 + - 1 2 + - 1 + 1 = 0

Beleza, - 1 é uma raiz, então vamos tentar reescrever o polinômio:

x 3 + x 2 + x + 1 = x + 1 x 2 + 1

Colocando isso na noss integral, ficamos com:

I = ∫ 3 x 2 + 1 x + 1 x 2 + 1   d x

Passo 2

Vamos tentar decompôr essa expressão em frações parciais:

3 x 2 + 1 x + 1 x 2 + 1 = A x + 1 + B x + C x 2 + 1

Para encontrar os coeficientes A , B e C , vamos mutliplicar toda a equação por x + 1 x 2 + 1 :

3 x 2 + 1 = A x 2 + 1 + B x + C x + 1

Agora temos que “juntar” todos os coeficientes de potências iguais:

3 x 2 + 1 = A + B x 2 + B + C x + A + C

E com isso podemos escrever um sistema:

A + B = 3 B + C = 0 A + C = 1         ⇒         A - C = 3 A + C = 1 B = - C         ⇒         A = 2 C = - 1 B = 1

Então a nossa decomposição em frações parciais vai ficar assim:

3 x 2 + 1 x + 1 x 2 + 1 = 2 x + 1 + x - 1 x 2 + 1

E podemos separar a segunda fração em duas:

3 x 2 + 1 x + 1 x 2 + 1 = 2 x + 1 + x x 2 + 1 - 1 x 2 + 1

Agora sim, podemos começar a integrar.

Passo 3

A nossa integral é:

I = ∫ 2 x + 1   d x + ∫ x x 2 + 1   d x - ∫ 1 x 2 + 1   d x

As duas primeiras integrais podem ser resolvidas só com um logaritmo:

∫ 2 x + 1   d x = 2 ln ⁡ x + 1 + C

∫ x x 2 + 1   d x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C

E a última integral é “tabelada”. É a integral do arco tangente:

∫ 1 x 2 + 1   d x = arctan ⁡ x

Então:

I = 2 ln ⁡ x + 1 + 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - arctan ⁡ x + C

Passo 4

Agora temos que avaliar isso quando x varia de x = 0 até x = 1 :

I x = 0 = 2 ln ⁡ 1 + 1 2 ln ⁡ 1 - arctan ⁡ 0 = 0 + 0 + 0 = 0

I x = 1 = 2 ln ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 2 - arctan ⁡ 1 = 5 2 ln ⁡ 2 - π 4

Então a integral é:

∫ 0 1 3 x 2 + 1 x 3 + x 2 + x + 1   d x = 5 2 ln ⁡ 2 - π 4

Resposta

A integral vale 5 2 ln ⁡ 2 - π 4 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados