Enunciado

A beirada inferior de um quadro de 10 pés de altura em exposição está 2 pés acima do nível dos olhos de um observador. Supondo que a melhor visão é obtida quando é máximo o ângulo subentendido pelo quadro no olho do observador, a qual distância do quadro este deveria ficar?

Passo 1

Então pessoal, a fim de facilitar nossa visualização sobre o problema vamos esboçar essa situação aí, se liga:

Aqui vale ressaltar duas coisas: o observador está na origem da figura e, claro, o desenho não está em escala. No entanto, são informações adicionais apenas, ok? Show! O que queremos aqui é encontrar uma expressão para θ em função de x , galera! Pelo desenho temos que:

θ = α - β

Então temos que determinar expressões para α e β antes de iniciarmos os cálculos com θ , beleza? Então bora que bora!

Passo 2

Para o triângulo retângulo envolvendo α temos o seguinte:

t g   α = 12 x

Logo:

α = a r c   t g   12 x

E para o triângulo envolvendo β temos o seguinte:

t g   β = 2 x

Logo:

β = a r c   t g   2 x

Sendo assim, nossa expressão será:

θ x = a r c   t g   12 x - a r c   t g   2 x

Perfeito!

Passo 3

Como estamos interessados em maximizar o ângulo em questão, então vamos utilizar os conceitos que aprendemos em cálculo! Derivando nossa função:

d θ d x = 1 1 + 12 x 2 . - 12 x 2 - 1 1 + 2 x 2 . - 2 x 2

Simplificando:

d θ d x = - 12 144 + x 2 + 2 4 + x 2 = 10 24 - x 2 144 + x 2 4 + x 2

Igualando a zero:

10 24 - x 2 144 + x 2 4 + x 2 = 0

A única forma disso dar zero é se:

24 - x 2 = 0

x = ± 24

Como nosso intervalo é 0 ,   2 (pela figura do passo 1), então nosso ponto crítico é:

x = 24

E esse é o ponto em x que maximiza nosso ângulo θ , galera! 😊

Resposta

Ponto: P 24 ,   0 .

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