Enunciado

Calcule a integral.

int (3 x^2 - 10)/(x^2 - 4 x + 4) d x

Passo 1

Aqui como temos que o coeficiente de x no numerador é maior que o do denominador vamos dividir os dois:

Temos então que:

3 x^2 - 10 = 3 (x^2 - 4 x + 4) + 12 x - 22 -> (3 x^2 - 10)/(x^2 - 4 x + 4) = (3 (x^2 - 4 x + 4))/(x^2 - 4 x + 4) + (12 x - 22)/(x^2 - 4 x + 4) ->

-> (3 x^2 - 10)/(x^2 - 4 x + 4) = 3 + (12 x - 22)/(x^2 - 4 x + 4)

Temos então que a integral fica:

int (3 x^2 - 10)/(x^2 - 4 x + 4) d x = int 3 + (12 x - 22)/(x^2 - 4 x + 4) d x = int 3 d x + int (12 x - 22)/(x^2 - 4 x + 4) d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c d x = c x + C

Aplicando:

int 3 d x = 3 x + C

Passo 3

Com a segunda vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

x^2 - 4 x + 4 = (x - 2)^2

Ele então é um produto de fatores lineares que se repetem, vamos então usar a seguinte fórmula:

(12 x - 22)/(x^2 - 4 x + 4) = (12 x - 22)/((x - 2)^2) = (A)/(x - 2) + (B)/((x - 2)^2)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 2)^2 :

12 x - 22 = A (x - 2) + B

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

12 x - 22 = A (x - 2) + B

12 x - 22 = A x - 2 A + B

12 x - 22 = x (A) + (- 2 A + B)

Passo 4

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A = 12],[- 2 A + B = - 22]])

Substituindo A na segunda temos:

- 2 A + B = - 22 -> - 2 * 12 + B = - 22 -> - 24 + B = - 22 -> B = - 22 + 24 -> B = 2

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (12 x - 22)/(x^2 - 4 x + 4) d x = int (12)/(x - 2) + (2)/((x - 2)^2) d x = int (12)/(x - 2) d x + int (2)/((x - 2)^2) d x =

= 12 int (1)/(x - 2) d x + 2 int (1)/((x - 2)^2) d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 5

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

12 int (1)/(x - 2) d x = 12 int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

12 int (1)/(u) d u = 12 ln |u| + C

Passo 6

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 int (1)/((x - 2)^2) d x = 2 int (1)/(v^2) d v = 2 int v^(- 2) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Aplicando:

2 int v^(- 2) d v = 2 * (x^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = 2 * (x^(- 1))/(- 1) + C = - (2)/(x) + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

int (3 x^2 - 10)/(x^2 - 4 x + 4) d x = int 3 d x + int (12 x - 22)/(x^2 - 4 x + 4) d x = 3 x + 12 int (1)/(x - 2) d x + 2 int (1)/((x - 2)^2) d x =

= 3 x + 12 ln |u| - (2)/(x) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (3 x^2 - 10)/(x^2 - 4 x + 4) d x = 3 x + 12 ln |u| - (2)/(x) + C = 3 x + 12 ln |x - 2| - (2)/(x - 2) + C

Resposta

int (3 x^2 - 10)/(x^2 - 4 x + 4) d x = 3 x + 12 ln |x - 2| - (2)/(x - 2) + C

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