Calcule a integral.

∫ 3 x 2 - 10 x 2 - 4 x + 4 d x

Passo 1

Aqui como temos que o coeficiente de x no numerador é maior que o do denominador vamos dividir os dois:

Temos então que:

3 x 2 - 10 = 3 x 2 - 4 x + 4 + 12 x - 22 → 3 x 2 - 10 x 2 - 4 x + 4 = 3 x 2 - 4 x + 4 x 2 - 4 x + 4 + 12 x - 22 x 2 - 4 x + 4 →

→ 3 x 2 - 10 x 2 - 4 x + 4 = 3 + 12 x - 22 x 2 - 4 x + 4

Temos então que a integral fica:

∫ 3 x 2 - 10 x 2 - 4 x + 4 d x = ∫ 3 + 12 x - 22 x 2 - 4 x + 4 d x = ∫ 3 d x + ∫ 12 x - 22 x 2 - 4 x + 4 d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c d x = c x + C

Aplicando:

∫ 3 d x = 3 x + C

Passo 3

Com a segunda vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

x 2 - 4 x + 4 = x - 2 2

Ele então é um produto de fatores lineares que se repetem, vamos então usar a seguinte fórmula:

12 x - 22 x 2 - 4 x + 4 = 12 x - 22 x - 2 2 = A x - 2 + B x - 2 2

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 2 2 :

12 x - 22 = A x - 2 + B

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

12 x - 22 = A x - 2 + B

12 x - 22 = A x - 2 A + B

12 x - 22 = x A + - 2 A + B

Passo 4

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A = 12 - 2 A + B = - 22

Substituindo A na segunda temos:

- 2 A + B = - 22 → - 2 ⋅ 12 + B = - 22 → - 24 + B = - 22 → B = - 22 + 24 → B = 2

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 12 x - 22 x 2 - 4 x + 4 d x = ∫ 12 x - 2 + 2 x - 2 2 d x = ∫ 12 x - 2 d x + ∫ 2 x - 2 2 d x =

= 12 ∫ 1 x - 2 d x + 2 ∫ 1 x - 2 2 d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 5

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

12 ∫ 1 x - 2 d x = 12 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

12 ∫ 1 u d u = 12 ln ⁡ u + C

Passo 6

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 ∫ 1 x - 2 2 d x = 2 ∫ 1 v 2 d v = 2 ∫ v - 2 d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Aplicando:

2 ∫ v - 2 d v = 2 ⋅ x - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 2 ⋅ x - 1 - 1 + C = - 2 x + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

∫ 3 x 2 - 10 x 2 - 4 x + 4 d x = ∫ 3 d x + ∫ 12 x - 22 x 2 - 4 x + 4 d x = 3 x + 12 ∫ 1 x - 2 d x + 2 ∫ 1 x - 2 2 d x =

= 3 x + 12 ln ⁡ u - 2 x + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 3 x 2 - 10 x 2 - 4 x + 4 d x = 3 x + 12 ln ⁡ u - 2 x + C = 3 x + 12 ln ⁡ x - 2 - 2 x - 2 + C

Resposta

∫ 3 x 2 - 10 x 2 - 4 x + 4 d x = 3 x + 12 ln ⁡ x - 2 - 2 x - 2 + C

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