Enunciado

13. Bombeamento de água O tanque retangular mostrado aqui, com o seu topo ao nível do solo, é usado para captar água pluvial. Considere que o peso específico da água seja 62,4   l b / p é 3 .

a. Quando o tanque estiver cheio, quanto trabalho será necessário para esvaziá-lo bombeando a água de volta ao nível do solo?

b. Se a água for bombeada para o nível do solo com motor de ( 5 / 11 )   H P (potência 250   p é s - l b / s ), quanto tempo levará para esvaziar o tanque cheio (arredonde para o minuto mais próximo)?

c. Mostre que a bomba no item (b) reduzirá o nível de água em 10 pés (metade) durante os primeiros 25 min de bombeamento.

d. Peso da água Quais são as respostas para os itens (a) e (b) em um local onde o peso específico da água seja 62,26   l b p é 3 ? E 65,59   l b p é 3 ?

Passo 1

O item a pede para gente calcular o quanto de trabalho é necessário para esvaziar o tanque cheio.

Passo 2

Lembrando que para calcular o trabalho usamos W = F ⋅ d .

Vamos descobrir quem é nosso F .

O exercício nos diz que a massa específica da água é 62,4   l b / p é 3 , repare que isso é uma unidade de Força ( l b ) dividida por uma unidade de volume, ou seja, se multiplicarmos isso pelo volume da água teremos unidade de força, então

F = 62,4 l b p é 3 ⋅ ∆ V

Agora vamos descobrir quem é nosso ∆ V .

O volume da água no tanque será a multiplicação de suas arestas, ou seja

∆ V = ∆ x ⋅ ∆ y ⋅ ∆ z = 10 ⋅ ∆ y ⋅ 12 = 120 ⋅ ∆ y

Nós ainda não sabemos o valor de ∆ y porque o volume de água varia com o tempo, então ∆ y também vai variar.

Passo 3

Legal, agora temos a força ( 62,4 l b p é 3 ⋅ ∆ V ) , e a distância ( y ), e já podemos calcular o trabalho.

Repare que o trabalho será uma somatória de vários trabalhos, pois a massa varia com a posição, então

W = ∑ 0 20 62,4 ⋅ 120 ⋅ ∆ y ⋅ y = ∫ 0 20 7488 y   d y

Essa integral resulta em

W = 3744 ⋅ 400 = 1497600

Passo 4

Agora vamos começar a resolver o segundo item.

O item b pede para gente calcular o quanto tempo é necessário para bombear a água para o nível do solo com o motor de 250   f t ⋅ l b   s   de potência.

Passo 5

Vamos começar lembrando que a potência e calculada da seguinte forma

P = W t

Basta agora isolar o tempo

t = W P

Isso nos dá

t = 1497600 250 = 5990,4

Passo 6

Esse tempo que descobrimos está em segundos, para passa-lo para horas basta dividir por 3600

5990,4 3600 = 1,664

Agora para ficar melhor ainda nossa resposta, vamos multiplicar 0,664 por 60 para descobrir quantos minutos 0,664 horas representa

0,664 ⋅ 60 = 39,84 ≈ 40    

Então vamos chegar no resultado de 1 hora e 40 minutos.

Passo 7

Agora vamos para o terceiro item.

O item (c) pede para mostrar que a bomba no caso do item (b) reduzirá o nível da água plea metade nos primeiros 25 min.

Passo 8

Para descobrir isso vamos primeiro calcular o trabalho realizado até o tanque esvaziar metade.

W = ∫ 0 10 7488 y   d y = 3744 ⋅ 100 = 374400

Passo 9

Agora podemos descobrir o tempo, pois sabemos o trabalho e a potência

t = W P = 374400 250 = 1497,6

Mas esse tempo está em segundos, então basta dividir por 60, e assim convertemos para minutos

1497,6 60 = 24,96 ≈ 30   m i n

Passo 10

Finalmente o último item.

O item (d) pede para calcular as respostas do item (a) e (b) mas no caso onde o peso específico sejam 62,26   l b p é 3 e 65,59   l b p é 3

Passo 11

Vamos começar com o item (a)

Para Massa específica de 62,26   l b p é 3

W = ∫ 0 20 M e ⋅ 120 ⋅ y   d y = ∫ 0 20 62,26 ⋅ 120 ⋅ y   d y = ∫ 0 20 7471,2 y   d y

Agora é só resolver essa integral

W = 3735,6 ⋅ 400 = 1494240   f t ⋅ l b

E para massa específica de 62,59   l b p é 3

W = ∫ 0 20 M e ⋅ 120 ⋅ y   d y = ∫ 0 20 62,59 ⋅ 120 ⋅ y   d y = ∫ 0 20 7510,8 y   d y

Agora é só resolver essa integral

W = 3755,4 ⋅ 400 = 1502160   f t ⋅ l b

Passo 12

Agora o item (b)

Para Massa específica de 62,26   l b p é 3 temos que W = 1494240   f t ⋅ l b

Então podemos calcular o tempo dessa forma

t = W P = 1494240 250 = 5976,96

Convertendo isso teremos aproximadamente 1 hora e 40 minutos também

Para Massa específica de 62,59   l b p é 3 temos que W = 1502160   f t ⋅ l b

Então podemos calcular o tempo dessa forma

t = W P = 1502160 250 = 6008,64

Convertendo isso teremos aproximadamente 1 hora e 40 minutos também

Resposta

Item a) W = 1497600   f t ⋅ l b

Item b) 1 hora e 40 minutos

Item d) 1494240   f t ⋅ l b e   1502160   f t ⋅ l b

Os outros resultados serão 1 hora e 40 minutos aproximadamente

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