(2y + 3x) = -x \* (dy/dx)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro verificar se nossa solução é dita exata. Para isso vamos primeiro reescrever a nossa equação e tentar usar a relação do passo 1.

2 y + 3 x d x + x   d y = 0

O que nos da que

∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x = 2 - 1 = 1

Onde

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y N = 1 x = Q ( x )

Então podemos supor que nosso fator integrante será

μ y = exp ⁡ ∫ 1 x   d y = exp ⁡ ln ⁡ x 1 = x

Assim temos

2 x y + 3 x 2 d x + x 2 d y = 0

Agora temos uma função exata.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

∂ ϕ ∂ x = 2 x y + 3 x 2

E

∂ ϕ ∂ y = x 2

Assim temos que

ϕ = ∫ 2 x y + 3 x 2 d x = x 2 y + x 3 + C ( y )

Agora se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar e y 2 x 2 y + y 3   como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y + x 3 + C ( y ) = x 2 + C ' y = x 2

Desta forma temos que C ' y = 0 → C y = C .

Então temos que

ϕ x , y = x 2 y + x 3 + + C = 0

Resposta

ϕ x , y = x 2 y + x 3 + + C = 0

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