Enunciado

(2 y + 3 x) = - x (d y)/(d x)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del M)/(del y) - (del N)/(del x)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro verificar se nossa solução é dita exata. Para isso vamos primeiro reescrever a nossa equação e tentar usar a relação do passo 1.

(2 y + 3 x) d x + x d y = 0

O que nos da que

(del M)/(del y) - (del N)/(del x) = 2 - 1 = 1

Onde

((del N)/(del x) - (del M)/(del y))/(N) = (1)/(x) = Q ( x )

Então podemos supor que nosso fator integrante será

mu (y) = exp int (1)/(x) d y = exp ln x^1 = x

Assim temos

(2 x y + 3 x^2) d x + x^2 d y = 0

Agora temos uma função exata.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = 2 x y + 3 x^2

E

(del varphi)/(del y) = x^2

Assim temos que

varphi = int (2 x y + 3 x^2) d x = x^2 y + x^3 + C ( y )

Agora se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar e^(y^2) (x^2 y + y^3) como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) (x^2 y + x^3 + C ( y )) = x^2 + C^' (y) = x^2

Desta forma temos que C^' (y) = 0 -> C (y) = C .

Então temos que

varphi (x , y) = x^2 y + x^3 + + C = 0

Resposta

varphi (x , y) = x^2 y + x^3 + + C = 0

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