Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.

t 3 y ' + 4 t 2 y = e - t ,         y - 1 = 0 ,       t < 0

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

t 3 y ' + 4 t 2 y = e - t        

Multiplicamos por μ t   e deixando ela linear,

μ t t 3   y ' + 4 t 2 μ t   y t 3 = μ t e - t t 3

μ t   y ' + 4 t μ t   y = μ t e - t t 3

De modo que

d μ t d t = 4 t μ t   ⟹     d μ t μ t = 4 t d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = 4 t d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ 4 t d t   ⟹   ln ⁡ μ t = ln ⁡ t 4   ⟹   μ t = t 4

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' + 4 t μ t   y = μ t e - t t 3   ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t   e - t   ⟹   d   μ t   y =   μ t   e - t d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ t 4 y =   ∫ t 4 e - t t 3 d t =   ∫ t e - t d t = - e - t ( t + 1 ) + C

y   = - e - t t + 1 + C / t 4  

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

y - 1 = 0 = - e 1 - 1 + 1 + C ⟹ C = 0  

y t = - e - t t + 1 t 4 ,     t   ≠ 0

Resposta

y t = - e - t t + 1 t 4

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Em cada um dos problemas de 1 a 32,resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicia,l encontre,também, a solução que satisfaz. t d y d t + t y = 1 - y ,y 1 = 0
d y d x = 1 + 2 x + y 2 + 2 x y 2
d y d x = x x 2 y + y 3 Sugestão: Seja u = x 2
x d y d x + 2 y = s e nx x 2 ,y 2 = 1
d y d x + y = 1 1 + e x