5 - d x d t = 1 - 5 1 - 3 x

Passo 1

Considere o sistema:

d x d t = 1 - 5 1 - 3 x … … .   ( 1 )

a)

Vamos assumir x = ξ e r t como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

d d t ξ e r t = 1 - 5 1 - 3 ξ e r t

r ξ e r t = 1 - 5 1 - 3 ξ e r t

= 1 - r - 5 1 - 3 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0 … … ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

1 - r - 5 1 - 3 - r = 0

r 2 + 2 r + 2 = 0

r = - 1 ∓ i

Portanto, os autovalores são r 1 = - 1 + i e r 2 = - 1 - i .

Passo 3

Quando r = r 1 = - 1 + i , a equação ( 2 ) fornece,

= 2 - i - 5 1 - 2 - i ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

( 2 - i ) ξ 1 = 5 ξ 2

ξ 1 = ( 2 + i ) ξ 2

O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = - 1 + i é: ξ 1 = 2 + i 1

Passo 4

Encontre o autovetor correspondente ao autovalor r = r 2 = - 1 - i .

Substitua  r = - 1 - i   na equação ( 2 ) ,

= 1 - ( - 1 - i ) - 5 1 - 3 - ( - 1 - i ) ξ 1 ξ 2 = 0 0

= 2 - i - 5 1 - 2 - i ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

ξ 1 = ξ 2

O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = - 1 - i é: ξ 2 = 2 - i 1

Portanto, a solução geral é,

x = c 1 2 + i 1 e ( - 1 + i ) t + c 2 2 - i 1 e ( - 1 - i ) t

Onde  c 1 c 2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

b) O objetivo é classificar o ponto crítico  ( 0,0 ) quanto ao tipo e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável.

Os autovalores são números complexos e de sinais opostos. Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um espiral. Como a parte real é um real negativo, deve ser assintoticamente estável.

Além disso, todas as soluções se aproximam à  ( 0,0 ) medida que t aumenta.

Assim, o ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.

Passo 6

c) Várias trajetórias no plano de fase são mostradas abaixo.

E algumas trajetórias terão alguns valores de constantes  c 1 , c 2 .

Agora, o esboço das trajetórias é mostrado abaixo:

Passo 7

d) O objetivo é usar um computador para plotar com precisão as curvas solicitadas na parte (c).

Digite pplane8 na janela de comando do MATLAB; insira as equações e pressione o botão ENTER para obter os seguintes gráficos:

Alguns gráficos típicos de  x 1 , x 2 versus  t para várias condições iniciais são desenhados abaixo:

Para  x 1 0 = 2 , x 2 0 = - 2 :

Gráfico de x 1 , x 2 versus t para x 1 0 = 2 , x 2 0 = - 2 :

O Gráfico de x 1 , x 2 versus t para x 1 0 = 2 , x 2 0 = 2 :

O Gráfico de x 1 , x 2 versus t para x 1 0 = - 2 , x 2 0 = - 2 :

O Gráfico de x 1 , x 2 versus t para x 1 0 = - 2 , x 2 0 = 2 :

Resposta

  1. Os autovalores são r 1 = - 1 + i e r 2 = - 1 - i .
  2. O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = - 1 + i é: ξ 1 = 2 + i 1

    O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = - 1 - i é: ξ 2 = 2 - i 1

  3. O ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.
  4. Gráfico de x 1 , x 2 versus t para x 1 0 = 2 , x 2 0 = - 2 :

O Gráfico de x 1 , x 2 versus t para x 1 0 = 2 , x 2 0 = 2 :

O Gráfico de x 1 , x 2 versus t para x 1 0 = - 2 , x 2 0 = - 2 :

O Gráfico de x 1 , x 2 versus t para x 1 0 = - 2 , x 2 0 = 2 :

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