Enunciado

20 - Considere o sistema linear

d x / d t   =   a 11 x   +   a 12 y ,         d y / d t   =   a 21 x   +   a 22 y

em que a 11 ,   a 12 ,   a 21   e   a 22 são constantes reais. Seja p = a 11 + a 22 ,   q = a 11 a 22   –   a 12 a 21 e Δ = p 2 – 4 q .

Note que p e q são, respectivamente, o traço e o determinante da matriz de coeficientes do sistema dado. Mostre que o ponto crítico ( 0,0 ) é um

(a)Nó, se q > 0 e Δ ≥ 0;

(b)Ponto de sela, se q

(c)Ponto espiral, se p ≠ 0 e Δ

(d)Centro, se p = 0 e q > 0.

Sugestão: Essas conclusões podem ser obtidas estudando-se os autovalores r 1 e r 2 . Também pode ajudar estabelecer e depois usar as relações r 1 r 2 = q   e   r 1 + r 2 = p .

Passo 1

Considere que o sistema linear é

d x d t = a 11 x + a 12 y … … .   1

d y d t = a 21 x + a 22 y

Onde  a 11 , a 12 , a 21 e a 22 são constantes reais.

Este sistema também pode ser escrito como:

x ' y ' = a 11 a 12 a 21 a 22 x y … … . ( 2 )

Temos que x y = x , logo o sistema torna-se:

x ' = a 11 a 12 a 21 a 22 x

Passo 2

Tenhamos X = ξ e r t .

Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.

a 11 a 12 a 21 a 22 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.

a 11 - r a 12 a 21 a 22 - r = 0

r 2 - a 11 + a 22 r + ( a 11 a 22 - a 12 a 21 ) = 0

Substitua a 11 + a 22 = p e a 11 a 22 - a 12 a 21 = q na solução acima.

r 2 - p r + q = 0

Vamos relembrar como achar o delta da equação de segundo grau.

∆ = b 2 - 4 a c … … .   ( 4 )

Logo:

∆ = p 2 - 4 q

Claramente, o traço e o determinante da matriz  a 11 a 12 a 21 a 22 são a 11 + a 22 = p e a 11 a 22 - a 12 a 21 = q .

Lembre-se de que, na equação quadrática  x 2 = b a x + c a = 0 , - b a representa a soma das raízes e c a o produto das raízes.

Vamos supor que r 1 e r 2 sejam as raízes da equação r 2 - p q + q = 0 , então r 1 + r 2 = p e r 1 r 2 = q .

Passo 3

  1. Suponha que,  q > 0 ∆ ≥ 0 .

Como  q > 0 o produto das raízes (valores próprios) é positivo

Desde  ∆ ≥ 0 então, a equação  r 2 - p q + q = 0 tem raízes reais.

Caso 1: 

se as raízes reais são raízes positivas, então q > 0 .

Lembre-se do resultado, se os autovalores a  r 1 > r 2 > 0 , o ponto crítico  ( 0,0 ) do sistema linear  x ' = A x é um nó.

Portanto, pelo resultado, o ponto crítico  ( 0,0 ) do sistema ( 1 ) é um nó.

Caso 2: 

se as raízes reais são raízes negativas, então q < 0 .

Lembre-se do resultado, se os autovalores a  r 1 < r 2 < 0 , o ponto crítico  ( 0,0 ) do sistema linear  x ' = A x é um nó.

Portanto, pelo resultado, o ponto crítico  ( 0,0 ) do sistema (1) é um nó.

Passo 4

b)

Assuma isso,  q < 0

Neste, o valor próprio deve ser negativo

Lembre-se do resultado, se os autovalores a  r 1 < 0 < r 2 , o ponto crítico  ( 0,0 ) do sistema linear  x ' = A x é o ponto de sela.

Portanto, pelo resultado, o ponto crítico  ( 0,0 ) do sistema (1) é o ponto de sela.

Passo 5

c)

Suponha que,  p ≠ 0 e ∆ < 0 .

Desde então  ∆ < 0 , a equação  r 2 - p r + q = 0 tem raízes imaginárias.

Lembre-se do resultado, se os autovalores a  r 1 , r 2 = γ ± i μ ,   γ ≠ 0 , o ponto crítico  ( 0,0 ) do sistema linear  x ' = A x é um ponto de espiral.

Portanto, pelo resultado, o ponto crítico  ( 0,0 ) do sistema (1) é o ponto de espiral.

Passo 6

d)

Suponha que,  p = 0 e q > 0 .

Então, o discriminante é,

∆ = p - 4 q

= - 4 q

∆ < 0

Ou seja, teremos raízes imaginarias.

Lembre-se do resultado, se os autovalores a  r 1 = i μ e r 2 = - i μ , o ponto crítico  ( 0,0 ) do sistema linear  x ' = A x é um centro.

Portanto, pelo resultado, o ponto crítico  ( 0,0 ) do sistema ( 1 ) é um centro.

Resposta

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