Enunciado

Buraco em uma esfera Um buraco cilindrico é feito através de uma esfera sólida, o eixo do buraco sendo um diâmetro da esfera. O volume do restante do sólido é

V = 2 ∫ 0 2 π   ∫ 0 3   ∫ 1 4 - z 2   r d r d z d θ .

a. Encontre o raio do buraco e o raio da esfera.b. Calcule a integral.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere um cilindro contido no interior de uma esfera, de tal forma que o volume remanescente seja dado por:

V = 2 ∫ 0 2 π   ∫ 0 3   ∫ 1 4 - z 2   r d r d z d θ

Passo 2

(a) Note na integral acima que o raio da esfera é 2 e que o raio do cilindro é 1 . Isto se justifica pelos limites de integração em .r.

Passo 3

(b) Integrando em r .

V = 2 ∫ 0 2 π     ∫ 0 3     r 2 2 4 - z 2 d z d θ V = ∫ 0 2 π     ∫ 0 3     3 - z 2 d z d θ

Integrando em z:

V = ∫ 0 2 π     3 z - z 3 3 0 3 d θ V = 2 3 ∫ 0 2 π     d θ

E finalmente em θ :

V = 2 3 [ θ ] 0 2 π V = 4 π 3

Sendo assim, o volume desejado é V = 4 π 3 .

Resposta

V = 4 π 3

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