Lista de Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Calcule

J = ∭ W   z 2   d x d y d z

Onde W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 4   e   z ≥ x 2 + y 2 }

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Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que se encontra acima do cone z = x 2 + y 2 e dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z .

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Determine o volume do sólido W dado por

W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x - 1 2 + y 2 + z 2 ≤ 1   e   z ≥ x 2 + y 2 }

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Calcule a massa do sólido que é parte da bola x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 4 , acima do cone z = 1 3 ( x 2 + y 2 ) e abaixo do cone z = x 2 + y 2 , com densidade δ x , y , z = z .

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Calcular a integral tripla

J = ∭ W   z   d x d y d z

Onde W é o sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies de equações x 2 + y 2 + z 2 = 4 z e z = 3 ( x 2 + y 2 ) , satisfazendo z ≤ 3 ( x 2 + y 2 ) .

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Calcule ∭ B   e x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z , onde B é a bola unitária:

B = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 }

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Calcule a massa do sólido limitado pelas superfícies u 2 + v 2 + w 2 = 2 v , v = u 2 + w 2 e v = 3 u 2 + w 2 , com densidade δ u , v , w = v 2 .

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Calcule ∭ R   x 2 + y 2 9 d x d y d z onde

R = x , y , z ∈ R 3 : x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ,   x 2 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 ,   z ≤ x 2 + y 2 9

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Calcule a integral

∫ 0 5 ∫ 0 25 - x 2 ∫ 0 25 - x 2 - y 2 1 1 + x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

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Determine o volume da esfera sólida ρ ≤ a que está entre os cones ϕ = π / 3 e ϕ = 2 π / 3 .

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Calcule a integral tripla ∭ H   9 - x 2 - y 2 d V , em que H é o hemisfério sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 acima do plano x y .

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Calcule a integral ∭ E   x y z   d V , em que E está no primeiro octante entre as esferas ρ = 2 e ρ = 4 e acima do cone φ = π / 3 .

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Calcule

J = ∭ W   z 2   d x d y d z

Onde W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 4   e   z ≥ x 2 + y 2 }

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Calcular a integral tripla

J = ∭ W   z   d x d y d z

Onde W é o sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies de equações x 2 + y 2 + z 2 = 4 z e z = 3 ( x 2 + y 2 ) , satisfazendo z ≤ 3 ( x 2 + y 2 ) .

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Determine o volume do sólido W dado por

W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x - 1 2 + y 2 + z 2 ≤ 1   e   z ≥ x 2 + y 2 }

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Calcular a integral tripla

I = ∭ W   x 2 + y 2 + z 2   d x d y d z

Onde W é o sólido contido no primeiro octante entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 + z 2 = 9 e acima do cone 3 z 2 = x 2 + y 2 .

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Calcule o valor da integral

∭ D   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d x d y d z

Onde D = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≤ x } .

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Considere f x , y , z = y 2 . Seja a região espacial

U = x , y , z ∈ R 3 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 , y ≥ 0

c) Calcule

I = ∭ U f x , y , z d V

Pelo método que preferir.

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Questão 3: Use coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido limitado pelo cone

z = x 2 + y 2

E abaixo da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 2

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Calcule a integral tripla

∭ U z 3 x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z

Onde U = x , y , z ∈ R 3 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 , z ≥ 0 , usando coordenadas esféricas.

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Seja o volume do sólido W comum às esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 2 z . Expresse (sem calcular) o volume de W em coordenadas esféricas na ordem d ρ d ϕ d θ .

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  1. Calcule ∭ W   1 x 2 + y 2 + z 2 d V , onde W é a região interior ao cone z = x 2 + y 2 , limitada superiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e inferiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

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  1. Calcule ∭ W z   d V , onde W é o sólido limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , z = 3 x 2 + y 2 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

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  1. Considere a integral iterada

I = ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 4 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2   d z d y d x

  1. Expresse I em coordenadas esféricas e calcule o seu valor.

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  1. Calcule o volume do sólido W que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , acima do plano z = 0 e abaixo do cone z = 3 x 2 + y 2 .

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O volume de um sólido S é dado pela seguinte integral tripla em coordenadas cilíndricas:

V o l S = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 ∫ z 1 - z 2 r d r d z d θ

a) Mude a integral acima para coordenadas cartesianas explicitando os limites de integração.

b) Mude a integral acima para coordenadas esféricas explicitando os limites de integração.

c) Calcule V o l S .

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Seja I = ∭ D z x 2 + y 2 d V ,   onde D é o sólido entre os cones z = - x 2 + y 2 3 e z = - 3 x 2 + y 2 e as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 + z 2 = 9 .

  • Descreva o sólido D em coordenadas esféricas ρ ,   ϕ ,   θ .
  • Calcule I .

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Seja f : R 3 → R função contínua. Se

∭ R f x , y , z d x d y d z = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ∫ 1 2 cos ⁡ φ f r cos ⁡ θ s e n   φ ,   r   s e n   θ   s e n   φ ,   r cos ⁡ φ   r 2   s e n   φ d r d φ d θ

Então R é:

Escolha uma:

a) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z

b) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z ,   x 2 + y 2 ≥ z

c) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z ,   x 2 + y 2 ≤ z

d) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,     x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z

e) x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2

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Calcule

∭ S x e x 2 + y 2 + z 2 d V

Onde S é a porção da bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 no primeiro octante

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Calcule

∭ S e x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z

Onde S é o sólido limitado pela esfera de centro na origem e de raio 4 e abaixo do cone z = 3 x 2 + y 2 , contido no primeiro octante.

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Seja T a região do espaço definida pelas desigualdades:

T : 0 ≤ x ≤ 9 - y 2 ,   0 ≤ y ≤ 3 ,   0 ≤ z ≤ 9 - x 2 + y 2

(c) Escreva

∭ T z x 2 + y 2 + z 2 d V

Como uma integral repetida (iterada), sem contudo efetuar os cálculos, usando coordenadas esféricas, e calcule o valor da integral.

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Calcule o volume do sólido

S = x , y , z   ∈   R 3 ;   z 2 ≤ 1 3 x 2 + y 2 ,     x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   x 2 + y 2 ≥ 1  

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Seja n , m ∈     0,1 , 2,3 … . Considere:

U = x ,   y ,   z ∈   R 3 ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 , z ≥ 1 .

Considere a integral tripla

I n , m = ∭ U x 2 + y 2 n z m   d x d y d z

  1. Escreva I n , m na forma de uma integral iterada usando coordenadas esféricas ρ ,   ϕ e θ .
  2. Escreva I n , m na forma de uma integral iterada usando as coordenadas cilíndricas r ,   θ , e z .
  3. Calcule I 0,1 ( n = 0 , m = 1 .)

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Calcule ∫ - 2 0 ∫ 0 4 - x 2 ∫ - 4 - x 2 - y 2 0 x 2 y z   d z d y d x via coordenadas esféricas.

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Usando coordenadas esféricas, encontre o volume da região que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 e fora do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Dica: Tem-se

∫ 1 sen 2 ⁡ ϕ d ϕ = - 1 tan ⁡ ϕ + c

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Considere a região espacial:

U = x ,   y ,   z ∈ R 3 ,   z ≥ x 2 + y 2       e       x 2 + y 2 + z 2 ≤ z .

Considere a integral tripla

I = ∭ U   x 2 + y 2 + z 2     d x d y d z .

  1. Determine a fronteira de U através de igualdades de desigualdades.
  2. Considere V = U ∩ x ≥ 0       e       y ≥ 0 e considere a integral tripla

    J = ∭ V   x 2 + y 2 + z 2     d x d y d z .

  3. Escreva I em coordenadas esféricas.
  4. Escreva J em coordenadas cilíndricas.
  5. Calcule I .
  6. Sabendo que I = λ J , calcule λ .

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(7) A descrição do cilindro x 2 + y 2 = 1 , entre os planos z = 0 e z = 1 , em coordenadas esféricas ρ ,   θ ,   ϕ , é dada por:

  1. ρ sin ⁡ ϕ = 1 ,               π / 4 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π
  2. ρ sin ⁡ ϕ = 1 ,           -   π / 2 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π
  3. ρ sin ⁡ ϕ ≤ 1 ,               π / 4 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π
  4. ρ sin ⁡ ϕ = 1 ,               0 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π
  5. ρ sin ⁡ ϕ ≤ 1 ,               0 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π

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Questão 1:

Determine o volume do sólido

V = x ,   y ,   z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 8 z ,   x 2 + y 2 ≤ z ≤ 3 x 2 + y 2

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1)

  1. Calcule a massa do sólido

S = u ,   v ,   w ∈ R 3   |   1 ≤ u 2 + v 2 + w 2 ≤ 2 u

com densidade γ u ,   v ,   w = u

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Questão 3:

Calcule

∭ E   x + y + z d V

sendo a região dentro da superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 no primeiro octante.

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Questão 2: Seja a > 0 uma constante. Seja

U = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 ,   z ≥ 0 .

Considere a integral tripla

J a = ∭ U   z 2 a 2 - x 2 - y 2 - z 2   d x d y d z

  1. Escreva J a numa forma de integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas esféricas.
  2. Obs.: Neste item não é necessário calcular a integral.

  3. Escreva J a numa forma de integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas.
  4. Obs.: Neste item não é necessário calcular a integral.

  5. Calcule J a .

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Questão 4: Seja E a região sólida interna à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 6