Em cada um dos problemas de 19 a 24, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.

F(s) = 2e^(-2s) / (s^2 - 4)

Passo 1

Meus amores, nessa questão aqui, a gente tem uma transformada de Laplace e quer a transformada inversa. É meio que o caminho ao contrário do que fazemos quando encontramos a transformada de Laplace de uma função.

Nessa matéria, a gente usa muitos resultados tabelados e claro que a gente vai ter que buscar alguns deles aqui também.

F s = 2 e - 2 s s 2 - 4

Nossa função tem uma exponencial e uma parte polinomial no denominador. E os resultados conhecidos mais parecidos com isso são esses aqui:

Primeiro de tudo vamos relembrar alguns resultados tabelados:

L - 1 1 s - a = e a t

L - 1 ( e - a s F ( s ) ) = f ( t - a ) u ( t - a )

Esse termo exponencial vai atuar como um deslocamento no tempo. Percebe, que em vez de t , a gente tem t - a na transformada inversa. E a função u t - a é a função degrau de Heaviside, neste caso com a = 2 .

Então vamos separar um pouquinho a nossa função:

F s = 2 e - 2 s s 2 - 4 = 2 e - 2 s 1 s 2 - 4

O que a gente vai fazer é encontrar a transformada inversa do termo 1 s 2 - 4 e pra isso a gente vai tentar fazer aparecer algo com essa carinha aqui 1 s - a . E depois disso a gente aplica o deslocamento da exponencial.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar olhando pra parte polinomial e encontrar a transformada inversa desse termo:

1 s 2 - 4

O denominador é uma diferença de quadrados, então podemos reescrever assim:

1 s 2 - 4 = 1 s - 2 s + 2

Mas a gente quer termos parecidos com esse aqui de transformada conhecida:

L - 1 1 s - a = e a t

Então vamos aplicar frações parciais pra separar nosso denominador:

1 s - 2 s + 2 = A s - 2 + B s + 2

Igualando os denominadores:

1 s - 2 s + 2 = A s + 2 + B s - 2 s - 2 s + 2

Reorganizando o numerador:

1 s - 2 s + 2 = A + B s + 2 A - 2 B s - 2 s + 2

E agora, igualando os numeradores, a gente monta o seguinte sistema:

A + B = 0

2 A - 2 B = 1

Vamos resolver:

A = - B

2 - B - 2 B = 1

- 4 B = 1

B = - 1 4

A = 1 4

E finalmente separamos nossa expressão que fica assim:

1 s - 2 s + 2 = 1 / 4 s - 2 - 1 / 4 s + 2

1 s - 2 s + 2 = 1 4 1 s - 2 - 1 s + 2

Passo 3

Agora vamos ao nosso resultado tabelado:

L - 1 1 s - a = e a t

Em 1 s - 2 , temos a = 2 , portanto:

L - 1 1 s - 2 = e 2 t

Em 1 s + 2 , temos a = - 2 , portanto:

L - 1 1 s + 2 = e - 2 t

Portanto, a transformada inversa de 1 s 2 - 4 é:

L - 1 1 s 2 - 4   = 1 4 e 2 t - e - 2 t

E pra escrever isso ai de um jeito menos feio, vamos lembrar dessa relação aqui:

sinh ⁡ t = e t - e - t 2

Ou então:

sinh ⁡ 2 t = e 2 t - e - 2 t 2

E finalmente nossa transformada inversa fica:

L - 1 1 s 2 - 4   = 1 2 sinh ⁡ 2 t

MAS CALMAAAAA, A QUESTÃO NÃO ACABOU! FALTA AQUELE TERMO EXPONENCIAL!

Passo 4

Como falamos lá no passo 1, esse termo exponencial funciona tipo um deslocamento no tempo.

L - 1 ( e - a s F ( s ) ) = f ( t - a ) u ( t - a )

No caso dessa expressão aqui, percebe que o F ( s ) é o termo que multiplica a exponencial, ou seja, não é a nossa função do enunciado, mas o temo polinomial que a gente já acabou de achar a transformada inversa.

L - 1 1 s 2 - 4   = 1 2 sinh ⁡ 2 t

Então vai ficar assim:

L - 1 e - a s 1 s 2 - 4   = 1 2 sinh ⁡ 2 t - a u ( t - a )

No lugar de t , a gente tem t - a e a função u t - a multiplicando. E como aqui, temos a = 2 :

L - 1 e - 2 s 1 s 2 - 4   = 1 2 sinh ⁡ 2 t - 2 u ( t - 2 )

Mas não esquece que a nossa função original tinha um 2 multiplicando também. Ela era assim:

F s = 2 e - 2 s s 2 - 4

Portanto:

L - 1 2 e - 2 s 1 s 2 - 4   = sinh ⁡ 2 t - 2 u ( t - 2 )

Resposta

L - 1 2 e - 2 s s 2 - 4   = sen ⁡ ( t - 2 ) u 2 ( t )

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