Em cada um dos problemas de 19 a 24, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
Passo 1
Meus amores, nessa questão aqui, a gente tem uma transformada de Laplace e quer a transformada inversa. É meio que o caminho ao contrário do que fazemos quando encontramos a transformada de Laplace de uma função.
Nessa matéria, a gente usa muitos resultados tabelados e claro que a gente vai ter que buscar alguns deles aqui também.
Nossa função tem uma exponencial e uma parte polinomial no denominador. E os resultados conhecidos mais parecidos com isso são esses aqui:
Primeiro de tudo vamos relembrar alguns resultados tabelados:
Esse termo exponencial vai atuar como um deslocamento no tempo. Percebe, que em vez de , a gente tem na transformada inversa. E a função é a função degrau de Heaviside, neste caso com .
Então vamos separar um pouquinho a nossa função:
O que a gente vai fazer é encontrar a transformada inversa do termo e pra isso a gente vai tentar fazer aparecer algo com essa carinha aqui . E depois disso a gente aplica o deslocamento da exponencial.
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar olhando pra parte polinomial e encontrar a transformada inversa desse termo:
O denominador é uma diferença de quadrados, então podemos reescrever assim:
Mas a gente quer termos parecidos com esse aqui de transformada conhecida:
Então vamos aplicar frações parciais pra separar nosso denominador:
Igualando os denominadores:
Reorganizando o numerador:
E agora, igualando os numeradores, a gente monta o seguinte sistema:
Vamos resolver:
E finalmente separamos nossa expressão que fica assim:
Passo 3
Agora vamos ao nosso resultado tabelado:
Em , temos , portanto:
Em , temos , portanto:
Portanto, a transformada inversa de é:
E pra escrever isso ai de um jeito menos feio, vamos lembrar dessa relação aqui:
Ou então:
E finalmente nossa transformada inversa fica:
MAS CALMAAAAA, A QUESTÃO NÃO ACABOU! FALTA AQUELE TERMO EXPONENCIAL!
Passo 4
Como falamos lá no passo 1, esse termo exponencial funciona tipo um deslocamento no tempo.
No caso dessa expressão aqui, percebe que o é o termo que multiplica a exponencial, ou seja, não é a nossa função do enunciado, mas o temo polinomial que a gente já acabou de achar a transformada inversa.
Então vai ficar assim:
No lugar de , a gente tem e a função multiplicando. E como aqui, temos :
Mas não esquece que a nossa função original tinha um multiplicando também. Ela era assim:
Portanto: