Enunciado

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Cada um dos exercícios 25-34 fornece uma fórmula para uma função y = f ( x ) . Em cada caso, determine f - 1 ( x ) e identifique o domínio e a imagem de f - 1 . Para conferir, mostre que f f - 1 x = f - 1 f x = x .

34. f x = ( 2 x 3 + 1 ) 1 / 5

Passo 1

Para fazermos a inversa da função, assim como discutido na seção 6 do George, devemos escrever uma função x = f ( y ) , isto é, isolar a variável x na função (supondo que x seja a variável) e em seguida trocarmos as variáveis para escrevermos a inversa na forma convencional, que é y = f ( x ) , tranquilo? Se liga!

Passo 2

A função que nos foi dada é y =   ( 2 x 3 + 1 ) 1 / 5 , escrevendo x = f ( y ) , temos:

y 5 = 2 x 3 + 1

2 x 3 = y 5 - 1

∴ x =   y 5 - 1 3 2 3

Agora que encontramos a função x = f ( y ) , só devemos inverter as variáveis para escrevermos a função na forma convencional, que é y = f ( x ) . Sendo assim, a inversa da f será:

y =   x 5 - 1 3 2 3  

∴ f - 1 x = x 5 - 1 3 2 3    

Passo 3

Quanto ao domínio e imagem, galera, temos que seja D e R o domínio e a imagem de uma função f , respectivamente, isso implica que o domínio da f - 1 passará a ser R e a imagem da f - 1 passará a ser D . Em outras palavras, as coisas só se invertem! Sabendo disso, temos que:

Domínio de f x = ( - ∞ ,   ∞ )

Imagem de f x = ( - ∞ ,   ∞ )

Domínio de f - 1 x = ( - ∞ ,   ∞ )

Imagem de f - 1 x = ( - ∞ ,   ∞ )

Passo 4

Agora que encontramos tudo que precisava, só para a finalização, vamos provar que, de fato, a inversa que encontramos é, de fato, inversa!

f f - 1 x → Inversa dentro da função;

f - 1 f x → Função dentro da inversa.

f f - 1 x = ( 2 x 5 - 1 3 2 3 3 + 1 )   1 / 5 = x

f - 1 f x = ( 2 x 3 + 1 1 5 ) 5 - 1 3 2 3 = x

Dessa forma, conferimos que, de fato, a inversa que encontramos está correta!

Resposta

f - 1 x = x 5 - 1 3 2 3    

Domínio de f - 1 x = ( - ∞ ,   ∞ )

Imagem de f - 1 x = ( - ∞ ,   ∞ )

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