Enunciado

Em cada parte, é dada a curva velocidade versus tempo de uma partícula que se move ao longo de uma reta. Use a curva para encontrar o deslocamento e a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 3 .

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, precisamos aplicar a integral para fazer o cálculo das funções de movimento, como deslocamento, velocidade e aceleração. Para o caso em questão, o que é pedido é apenas o deslocamento de uma partícula e a distância que ela percorreu em um determinado intervalo de tempo.

Então, lembrando da relação entre velocidade e posição:

s = v e l o c i d a d e t e m p o

Usando a integral, para um intervalo de tempo t 0 , t 1 , o deslocamento da partícula será dado por:

s t = s t 1 - s t 0 = ∫ t 0 t 1 v t d t

E a distância total percorrida pela partícula será dada por:

d = ∫ t 0 t 1 v t d t

Passo 2

Então, como a curva dada é uma curva da velocidade em relação ao tempo, podemos descobrir o valor ou a função que define a velocidade.

Logo, para o exercício c , a função velocidade será dada por uma função de primeiro grau para cada inclinação da reta:

v t = 1 - t   n o   i n t e r v a l o   d e   t e m p o   0 ,   2

E

v t = t - 3   n o   i n t e r v a l o   d e   t e m p o   2 ,   3

Assim, o deslocamento pode ser escrito pela integral:

s t = ∫ 0 2 1 - t d t + ∫ 2 3 t - 3 d t

Que, calculada, resulta em:

s t = t - t 2 2 | 2 0 + t 2 2 - 3 t | 3 2

E, substituindo o intervalo de integração (que é o intervalo de tempo que a partícula percorreu), teremos:

s t = 2 - 2 2 2 + 3 2 2 - 3 3 - 2 2 2 - 3 2

s t = 9 2 - 9 - 2 + 6

Ou seja:

s t = - 1 2

Passo 3

Fazendo da mesma forma, vamos calcular a distância percorrida pela partícula através da integral citada. Então, para cada intervalo, a velocidade assumirá valores positivos e negativos, tal que:

Para 0 ,   1 , a velocidade é positiva e, logo:

  v t = 1 - t

Como em 1 ,   2 , a velocidade é negativa, o seu módulo assumirá o valor oposto:

  v t = - 1 - t = ( t - 1 )

Analogamente, para o intervalo 2 ,   3 , o módulo da velocidade será dado por:

  v t = - t - 3 = 3 - t

Dessa forma:

d = ∫ 0 1 1 - t d t + ∫ 1 2 t - 1 d t + ∫ 2 3 3 - t d t

Que resulta em:

d = t - t 2 2 1 0 + t 2 2 - t 2 1 + 3 t - t 2 2 | 3 2

E, substituindo o intervalo de integração, teremos:

d = 1 - 1 2 + 2 - 2 - 1 2 - 1 + 9 - 9 2 - 6 - 2

Portanto:

d = 3 2

Resposta

s t = - 1 2

d = 3 2

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Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ e x 1 - e 2 x d x
a Calcule a integral ∫ s e n x cos ⁡ x d x usando a substituição u = s e n x . b Calcule a integral ∫ s e n x cos ⁡ x d x usando a identidade s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x . c Explique por que as resp