Enunciado

Calcule a integral

35. int tan^4 x sec x d x

Passo 1

Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:

tan^2 u = sec^2 u - 1

Nisso, podemos reescrever nossa integral da seguinte forma:

int tan^4 x sec x d x = int tan^2 x tan^2 x sec x d x =

int (sec^2 x - 1)^2 sec x d x = int (sec^4 x - 2 sec^2 x + 1) sec x d x =

int sec^5 x d x - 2 int sec^3 x d x + int sec x d x

Passo 2

Nossos próximos passos serão resolver essas três integrais. Resolvendo a primeira, na ordem que aparecem, vamos usar o método da integral por partes. Reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

int sec^5 x d x = int sec^3 x sec^2 x d x

Vamos denominar aqui:

u = sec^3 x

d v = sec^2 x d x

Assim, temos:

d u = 3 sec^2 x * sec x tan x d x = 3 sec^3 x tan x d x

v = tan x

Resolvemos a integral por partes a partir da seguinte forma:

int u d v = u v - int v d u

Aplicamos:

int sec^5 x d x = sec^3 x tan x - 3 int sec^3 x tan^2 x d x

Temos agora que resolver também a integral int sec^3 x tan^2 x d x . Pra isso, usamos a mesma propriedade trigonométrica que usamos no começo do exercício:

int sec^3 x tan^2 x d x = int sec^3 x (sec^2 x - 1) d x = (int sec^5 x d x - int sec^3 x d x)

Agora, substituímos int sec^3 x tan^2 x d x por (int sec^5 x d x - int sec^3 x d x) na sentença acima que obtivemos:

int sec^5 x d x = sec^3 x tan x - 3 (int sec^5 x d x - int sec^3 x d x) =

= sec^3 x tan x - 3 int sec^5 x d x + 3 int sec^3 x d x

Rearrumando tudo isso, no fim das contas temos:

4 int sec^5 x d x = sec^3 x tan x + 3 int sec^3 x d x

Assim, nos resta calcular, também pelo método da integral por partes, a integral int sec^3 x d x .

Passo 3

Temos a integral:

int sec^3 x d x

Reescrevemos ela da seguinte maneira:

int sec^3 x d x = int sec x sec^2 x d x

Fazemos o mesmo esquema, mas usando letras diferentes, a e b :

Temos:

a = sec x

d b = sec^2 x d x

Portanto, teremos:

d a = sec x tan x d x

b = tan x

Escrevemos a integral no molde que já sabemos:

int a d b = a b - int b d a

Vamos ter:

int sec^3 x d x = sec x tan x - int sec^2 x tan x d x

Nisso, precisamos resolver a integral int sec^2 x tan x d x . Essa é uma integral que se resolve por substituição simples. Temos:

u = tan x

d u = sec^2 x d x

Reescrevemos a sentença:

int sec^3 x d x = sec x tan x - int u d u

A integral int u d u se resolve diretamente, e tem como resposta:

int u d u = (u^2)/(2) = (tan^2 x)/(2)

Agora rescrevemos de novo, com o resultado da integral:

:. int sec^3 x d x = sec x tan x - (tan^2 x)/(2)

Passo 4

Tendo o resultado pra int sec^3 x d x , voltamos ao passo 2 e continuamos a resolver. Tínhamos parado em:

4 int sec^5 x d x = sec^3 x tan x + 3 int sec^3 x d x

Já com o resultado pra int sec^3 x d x , escrevemos:

4 int sec^5 x d x = sec^3 x tan x + 3 (sec x tan x - (tan^2 x)/(2))

Agora só fazer os ajustes necessários e temos como resposta:

:. int sec^5 x d x = (sec^3 x tan x + 3 sec x tan x)/(4) - (3 tan^2 x)/(8)

Passo 5

Nesse passo, resolveríamos a segunda integral que obtivemos no final do passo 1, mas já calculamos ela no passo 3, e o resultado foi:

:. int sec^3 x d x = sec x tan x - (tan^2 x)/(2)

Passo 6

Agora então só falta calcular a última integral do passo 1: int sec x d x . Essa integral é tabelada, e tem como resposta:

:. int sec x d x = ln |sec x + tan x|

Passo 7

Temos as respostas pra todas as integrais. Escrevemos a integral original e as respostas de cada integral resultante:

int tan^4 x sec x d x = int sec^5 x d x - 2 int sec^3 x d x + int sec x d x

Agora, só substituir pelo que já calculamos:

= (sec^3 x tan x + 3 sec x tan x)/(4) - (3 tan^2 x)/(8) - 2 (sec x tan x - (tan^2 x)/(2)) + ln |sec x + tan x|

Fazemos os ajustes e vamos ter:

:. int tan^4 x sec x d x =

= (sec^3 x tan x + 3 sec x tan x)/(4) - (3 tan^2 x)/(8) - 2 sec x tan x + tan^2 x + ln |sec x + tan x| + C

Resposta

int tan^4 x sec x d x =

= (sec^3 x tan x + 3 sec x tan x)/(4) - (3 tan^2 x)/(8) - 2 sec x tan x + tan^2 x + ln |sec x + tan x| + C

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