Enunciado

Em cada parte, determine o valor exato sem utilizar recursos computacionais

a ) arc sen ⁡ sen ⁡ π 7

b ) arc sen ⁡ sen ⁡ 5 π 7

c ) arc  tg ⁡ tg ⁡ 13 π 6

d ) arc cos ⁡ cos ⁡ 12 π 7

Passo 1

Fala povo, tudo certo? Ó só, pra gente matar essa questão bem rapidinho, vamos pensar o seguinte, como o enunciado fala tudo sobre arco de funções trigonométricas, se a gente lembrar por exemplo que:

arc sen ⁡ x = y

Significa que y é o arco cujo seno é x , podemos reescrever todas as letras do enunciado:

a ) arc sen ⁡ sen ⁡ π 7 = y

b ) arc sen ⁡ sen ⁡ 5 π 7 = y

c ) arc tg ⁡ tg ⁡ 13 π 6 = y

d ) arc cos ⁡ cos ⁡ 12 π 7 = y

Para:

a ) sen ⁡ y = sen ⁡ π 7

b ) sen ⁡ y = sen ⁡ 5 π 7

c ) tg ⁡ y = tg ⁡ 13 π 6

d ) cos ⁡ y = cos ⁡ 12 π 7

Basicamente o que fizemos foi usar a função inversa das funções arco. Como as funções arco já são as inversas trigonométricas, voltamos pra elas. Bacana, não? Agora como temos funções iguais se igualando, é tentador pra gente responder:

a )   y = π 7

b )   y = 5 π 7

c )   y = 13 π 6

d )   y = 12 π 7

O que não é inteiramente errado, mas como as funções trigonométricas são funções cíclicas, vamos ver com mais calma caso a caso, ok?! Em todos eles vamos precisar considerar o círculo trigonométrico:

Passo 2

Letra a) sen ⁡ y = sen ⁡ π 7

Show galera, olhando com carinho pro círculo trigonométrico, vemos que, pra ângulos genéricos γ , β , tal que:

γ = π - β

Vai ser válido que:

sen ⁡ β = sen ⁡ γ

Portanto, como queremos:

sen ⁡ y = sen ⁡ π 7

Não basta respondermos y = π 7 porque, escolhendo β = π 7 , a escolha de y = γ = π - β = π - π 7 = 6 π 7 retorna o mesmo valor de seno! Portanto, respostas possíveis são:

y = π 7

y = 6 π 7

E como isso é só pra primeira volta no círculo trigonométrico, toda vez que adicionarmos 2 π ( 360 0 ) a esses ângulos, vamos “voltar” pra posição original nesse círculo, então de forma mais geral a resposta é:

y = π 7 + 2 π k 6 π 7 + 2 π k   ;           k = 0,1 , 2,3 …  

Bora manter essas ideias pros próximos passos, ok?

Passo 3

Letra b) sen ⁡ y = sen ⁡ 5 π 7

Agora vamos escolher o contrário, seja:

γ = 5 π 7

Para γ = π - β , temos:

5 π 7 = π - β

β = 2 π 7

Pela mesma lógica da letra a , vamos ter que esses dois ângulos tem o mesmo valor de seno! Então:

y = 5 π 7 + 2 π k 2 π 7 + 2 π k   ;           k = 0,1 , 2,3 …  

Letra c) tg ⁡ y = tg ⁡ 13 π 6

Pra começar, veja o seguinte, o ângulo 13 π 6 é maior que 2 π ! Em graus, temos 390 0 . O equivalente a ele então dentro da primeira volta é o ângulo a :

a = 390 0 - 360 0

a = 3 0 0 = π 6   r a d

Vamos continuar então essa letra partindo de:

tg ⁡ y = tg ⁡ π 6

Pra tangente a brincadeira é um pouco diferente. Afinal como:

tg ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x

Pra tangente de ângulos diferentes serem iguais, os ângulos devem ser:

Veja que desse jeito, ou o seno e o cosseno são negativos, ou os dois são positivos. Ao dividirmos, teremos tangente positiva. Sendo β = 180 0 , vamos ter

tg ⁡ α = tg ⁡ α + β

tg ⁡ α = tg ⁡ α + π

Para α = π 6 , temos:

tg ⁡ π 6 = tg ⁡ π 6 + π

tg ⁡ π 6 = tg ⁡ 7 π 6

E portanto pra termos a equação abaixo satisfeita:

tg ⁡ y = tg ⁡ π 6

Devemos ter:

y = π 6 + 2 π k 7 π 6 + 2 π k   ;           k = 0,1 , 2,3 …  

Note que pra k = 1 , achamos o 13 π 6 original, então usar o ângulo equivalente da primeira volta faz sentido, né não?

Passo 4

Letra d) cos ⁡ y = cos ⁡ 12 π 7

Última letra e a gente fecha, beleza? Olhando bem pro círculo trigonométrico, vemos que:

cos ⁡ β = cos ⁡ α

Sendo, nesse caso:

β = 2 π - α

α = 2 π - β

Temos:

cos ⁡ 2 π - α = cos ⁡ α

cos ⁡ β = cos ⁡ 2 π - β

Galera, como nosso enunciado é:

cos ⁡ y = cos ⁡ 12 π 7

Escolhendo β = 12 π 7 , vamos ter que:

cos ⁡ 12 π 7 = cos ⁡ 2 π - 12 π 7

cos ⁡ 12 π 7 = cos ⁡ 2 π 7

A equação abaixo:

cos ⁡ y = cos ⁡ 12 π 7

Vai ser então satisfeita com:

y = 2 π 7 + 2 π k 12 π 6 + 2 π k   ;           k = 0,1 , 2,3 …  

Resposta

a )   π 7 + 2 π k 6 π 7 + 2 π k   ;           k = 0,1 , 2,3 …   b )   π 7 + 2 π k 6 π 7 + 2 π k   ;           k = 0,1 , 2,3 … c )   π 6 + 2 π k 7 π 6 + 2 π k   ;           k = 0,1 , 2,3 …   d )   2 π 7 + 2 π k 12 π 6 + 2 π k   ;           k = 0,1 , 2,3 …

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10. Faça o exercício 8 se x = c o s - 1 ( - 2 3 ) .8. d) c o t g( x )
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