Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Capítulo 4.1 - Ex. 7

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Em cada um dos problemas de 7 a 10, determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entre elas.

7. f 1 t = 2 t - 3 ,     f 2 t = t 2 + 1 ,     f 3 t = 2 t 2 - 1

Passo 1

Vamos primeira calcular o wronskiano das três funções, se ele der diferente de zero, elas formam um conjunto fundamental de soluções e, por isso, serão linearmente independentes:

W f 1 , f 2 , f 3 = d e t 2 t - 3 t 2 + 1 2 t 2 - t 2 2 t 4 t - 1 0 2 4

Passo 2

Calculando o determinante da matriz:

W f 1 , f 2 , f 3 = 8 t 2 t - 3 + 4 2 t 2 - 1 - 2 ( 4 t - 1 ) 2 t - 3 - 8 ( t 2 + 1 )

W f 1 , f 2 , f 3 = - 14

Como W ≠ 0 , as três funções são linearmente independentes.

Resposta

W f 1 , f 2 , f 3 = - 14

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