Enunciado

14 - Mostre que a fórmula de Adams-Bashforth de terceira ordem é

y n + 1 = y n + h 12 23 f n - 16 f n - 1 + 5 f n - 2

Passo 1

Para a fórmula de Adams-Bashforth de terceira ordem, aproximamos f   ( t ,   y ) , no intervalo [ t n , t n + 1 ] , por um polinômio quadrático usando os pontos t n - 2 , y n - 2 , t n - 1 , y n - 1   e   ( t n , y n ) .

Agora deixamos   P 3 ( t ) =   A t 2   +   B t   +   C . A partir disso obtemos o sistema de equações:

A t n - 2 2 + B t n - 2 + C = f n - 2

A t n - 1 2 + B t n - 1 + C = f n - 1

A t n 2 + B t n + C = f n

Portanto, para fins computacionais, vamos assumir que t 0 = 0 e t n = n h . Então, a partir disso, segue-se que,

A = f n - 2 f n - 1 + f n - 2 2 h 2

B = 3 - 2 n f n + 4 n - f f n - 1 + 1 - 2 n f n - 2 2 h

C = n 2 - 3 n + 2 2 f n + 2 n - n 2 f n - 1 + n 2 - n 2 f n - 2

Então nós temos,

y n + 1 - y n = ∫ t n t n + 1 A t 2 + B t + C d t =

A h 3 n 2 + n + 1 3 + B h 2 n + 1 2 + C

Substituindo os valores no resultado da integral, temos:

y n + 1 - y n = h 12 23 f n - 16 f n - 1 + 5 f n - 2

Resposta

y n + 1 - y n = h 12 23 f n - 16 f n - 1 + 5 f n - 2

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