Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.

7. F s = 2 s + 1 s 2 - 2 s + 2

Passo 1

Vamos começar reescrevendo a função F ( s ) para que ela fique parecida com as funções que têm na tabela do livro das transformadas e transformadas inversas:

F s = 2 s + 1 s 2 - 2 s + 2 = 3 + 2 ( s - 1 ) s - 1 2 + 1

Fizemos aparecer o termo s - 1 , se substituirmos ele por ξ , vai ficar:

3 + 2 ξ ξ 2 + 1 = 3 1 ξ 2 + 1 + 2 ξ ξ 2 + 1

Passo 2

Pela tabela, conhecemos as transformadas inversas das frações:

L 1 ξ 2 + 1 = s e n t

L ξ ξ 2 + 1 = c o s t

Mas antes de substituirmos precisamos usar a seguinte relação:

L e a t f ( t ) = L f t s → s - a

Ou seja, quando s pode ser substituído por uma diferença s - a , que é o nosso caso, podemos multiplicar o conteúdo da transformada por e a t , e isso vale para as transformadas inversas também. Ficamos com o seguinte:

L - 1 F ( s ) = e t 3 s e n t + 2 c o s t

Essa será a transformada inversa da função dada pela questão.

Resposta

L - 1 F ( s ) = e t 3 s e n t + 2 c o s t

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