Enunciado

Em cada um dos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.

12.   y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0

Passo 1

Ora! Aqui temos que resolver uma EDO homogênea linear a coeficientes constantes, porém ela é de ordem superior. Mas vimos que pouca coisa muda né? Basicamente é só mais trabalho mesmo haha.

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

  y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0   →

r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1 = 0

Podemos escrever essa equação dessa forma aqui:

r - 1 3 = 0

Então, podemos falar que termos três raízes iguais e reais:

r 1 = 1      

r 2 = 1    

r 3 = 1    

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

Vamos começar montando as soluções fundamentais para dada r :

  • Para r 1 = 1 como ele é real...
  • y 1 = e r 1 t = e t

  • Para r 2 = r 1 = 1 , como ele é igual ao anterior, devemos ter um t na frente...
  • y 2 = t e r 2 t = t e t

  • Para r 3 = r 2 = 1 , como ele é igual ao anterior, devemos ter um t na frente...

y 3 = t t e r 3 t = t 2 e t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3   →

y = c 1 e t + c 2 t e t + t 2 e t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 e t + c 2 t e t + t 2 e t

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