Enunciado

Em cada um dos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.

22. y 4 + 2 y ' ' + y = 0

Passo 1

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

y 4 + 2 y ' ' + y = 0   →

r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

Veja que graças à propriedade:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Podemos escrever essa equação dessa forma aqui:

r 2 + 1 2 = 0

Então as raízes multiplicidade 2 e elas serão:

r 2 + 1 = 0   →

r 2 = - 1   →

r = ± i

Ter multiplicidade 2 significa que cada uma delas se repetem duas vezes!

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

  • Para r = ± i como ele é imaginário...
  • y 1 = c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t

  • Para r = ± i (afinal ele se repete). Lembre-se de colocar o t quando isso acontece...

y 2 = t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t

A solução geral então pode ser dada por...

y = y 1 + y 2   →

y = c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t + t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t + t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t

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