Enunciado

Em cada um dos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.

16. y 4 - 5 y ' ' + 4 y = 0

Passo 1

Ora! Aqui temos que resolver uma EDO homogênea linear a coeficientes constantes, porém ela é de ordem superior. Mas vimos que pouca coisa muda né? Basicamente é só mais trabalho mesmo haha.

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

  y 4 - 5 y ' ' + 4 y = 0   →

r 4 - 5 r 2 + 4 = 0

Podemos escrever essa equação dessa forma aqui:

r 4 - 5 r 2 + 4 = 0

Fazendo uma mudança do tipo u = r 2 ...

u 2 - 5 u + 4 = 0     →

Resolvendo por soma e produto...

u 1 = 1       e       u 2 = 4

Então, como r 2 = u ...

r 1 = 1   ,       r 2 = - 1 ,             r 3 = 4             e             r 4 = - 4

r 1 = 1   ,       r 2 = - 1 ,             r 3 = 2             e             r 4 = - 2

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

Vamos começar montando as soluções fundamentais para dada r :

  • Para r 1 = 1 como ele é real...
  • y 1 = e r 1 t = e t

  • Para r 2 = - 1 como ele é real...
  • y 2 = e r 2 t = e - t

  • Para r 3 = 2 como ele é real...
  • y 3 = e r 3 t = e 2 t

  • Para r 4 = - 2 como ele é real...

y 2 = e r 4 t = e - 2 t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 3 y 4   →

y = c 1 e t + c 2 e - t + c 3 e 2 t + c 4 e - 2 t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 e t + c 2 e - t + c 3 e 2 t + c 4 e - 2 t

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1. Achar a solução geral de cada um das seguintes equações:a) y ' ' + y ' - 6 y = 0 b) D 2 + 2 D - 15 y = 0 c) D 3 + D 2 - 2 D y = 0 d) D 3 + 2 D 2 - 5 D - 6 y = 0 e) D 4 - 6 D 3 + 12 D 2 - 8 D y = 0
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5. a) Provar que as funções s e nt e cos ⁡ t são ambas soluções de y ' ' + y = 0 b) Provar também que s e nt e cos ⁡ t são linearmente independentes.c) Achar a solução geral de y ' ' + y = 0 d) Achar
6. Seja L = D 2 - 2 D + 2 .a) Provar que as funções f 1 t = e t cos ⁡ t e f 2 t = e ts e nt são soluções da equação diferencial L y = 0 .b) Provar que f 1 t e f 2 t são linearmente independentes.c) Qu
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