Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,g é uma função contínua arbitrária.

y ' ' - 2 y ' + y = e t 1 + t 2   ,        

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. y ' ' - 2 y ' + y = e t 1 + t 2   ,        

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Onde y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente.

A equação homogênea correspondente é:

y ' ' - 2 y ' + y = e t 1 + t 2   ,        

Pode ser reescrita como:

λ 2 - 2 λ + 1 = 0

Onde:

λ = 1

Portanto, a solução geral é:

y = c 1 e t + c 2 t e t

Passo 2

Vamos verificar se y 1 t = e t e y 2 t = t e t , formam um conjunto fundamental de solução, encontrando seus Wronskianos.

W y 1 , y 2 t = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2

= e t e t + t e t - t e 2 t = e 2 t + t e 2 t - t e 2 t

W = e 2 t

O que é sempre diferente de zero. Portanto, y 1 t e y 2 t formam um conjunto fundamental de soluções.

Vamos agora encontrar u 1 e u 2 e g t = e t 1 + t 2   .

u 1 t = ∫ - t e t e t 1 + t 2 e 2 t d t = - 1 2 ln ⁡ ( 1 + t 2 )

E u 2 por:

u 2 t = ∫ e t e t 1 + t 2 e 2 t d t = tan - 1 ⁡ t

Aplicando na equação geral, teremos:

Y t = - 1 2 ln ⁡ 1 + t 2 e t + t e t tan - 1 ⁡ t

Solução completa:

y t = c 1 e t + c 2 t e t - 1 2 ln ⁡ 1 + t 2 e t + t e t tan - 1 ⁡ t

Resposta

y t = c 1 e t + c 2 t e t - 1 2 ln ⁡ 1 + t 2 e t + t e t tan - 1 ⁡ t

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