Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,g é uma função contínua arbitrária.

4 y ' ' + y = 2 s ec ⁡ t / 2   ,     - π < t < π

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. 4 y ' ' + y = 2 sec ⁡ t / 2   ,     - π < t < π

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Onde y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente.

A equação homogênea correspondente é:

4 y ' ' + y = 2 sec ⁡ t / 2   ,     - π < t < π

Pode ser reescrita como:

4 λ 2 + y = 0

Onde:

λ = ± 1 2 i

Portanto, a solução geral é:

y = c 1 cos ⁡ 1 2 t + c 2 sen ⁡ 1 2 t

Passo 2

Vamos verificar se y 1 t = cos ⁡ 1 2 t e y 2 t = sen ⁡ 1 2 t , formam um conjunto fundamental de solução, encontrando seus Wronskianos.

W y 1 , y 2 t = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2

= 1 2 cos 2 ⁡ 1 2 t + 1 2 s en 2 ⁡ 1 2 t = 1 2

O que é sempre diferente de zero. Portanto, y 1 t e y 2 t formam um conjunto fundamental de soluções.

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Vamos agora encontrar u 1 e u 2 e g t = 2 sec ⁡ t / 2   .

y 1 t u 1 t = - cos ⁡ 1 2 t ∫ sen ⁡ 1 2 t . 1 2 sec ⁡ t 2 1 2 d t = - 3 2 t

E u 2 por:

y 2 t u 2 t = s en ⁡ 1 2 t ∫ co s ⁡ 1 2 t . 1 2 sec ⁡ t 2 1 2 d t

Y t = 2 cos ⁡ t 2 ln ⁡ ( cos ⁡ t 2 ) - 2 ln ⁡ ( cos ⁡ t 0 2 ) cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 t - t 0 s e n ⁡ t 2

Y pode ser reduzida a :

Y t = 2 cos ⁡ t 2 ln ⁡ ( cos ⁡ t 2 ) + sen ⁡ t 2 t

Solução completa:

y t = c 1 cos ⁡ 1 2 t + c 2 sen ⁡ 1 2 t + 2 cos ⁡ t 2 ln ⁡ ( cos ⁡ t 2 ) + sen ⁡ t 2 t

Resposta

y t = c 1 cos ⁡ 1 2 t + c 2 sen ⁡ 1 2 t + 2 cos ⁡ t 2 ln ⁡ ( cos ⁡ t 2 ) + sen ⁡ t 2 t

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