Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 4, use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação diferencial dada. Depois verifique sua resposta usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' + 2 y ' + y = 3 e - t

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. y ' ' + 2 y ' + y = 3 e - t

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Onde y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente.

A equação homogênea correspondente é:

y ' ' + 2 y ' + y = 3 e - t

Pode ser reescrita como:

λ 2 + 2 λ + 1 = 0

Onde:

λ 1 = - 1

λ 2 = - 1

Portanto, a solução geral é:

y = c 1 e λ 1 t + c 2 t e λ 2 t

y = c 1 e - t + c 2 t e - t

Passo 2

Vamos verificar se y 1 t = e - t e y 2 t = t e - t = formam um conjunto fundamental de solução, encontrando seus Wronskianos.

W y 1 , y 2 t = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2

= e - t e - t - t e - t + e - t . t e - t = e - 2 t - t e - 2 t + t e 2 t = e - 2 t

O que é sempre diferente de zero. Portanto, y 1 t e y 2 t formam um conjunto fundamental de soluções.

Vamos agora encontrar u 1 e u 2 e g t =   3 e - t   .

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ t e t . 3 e - t e - 2 t d t = - 3 2 t 2

E u 2 por:

u 2 t = ∫ e t . 3 e - t e - 2 t d t = 3 t

Aplicando na equação geral, teremos:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Y t = e - t - 3 2 t 2 + t e - t 3 t = - 3 2 t 2 e - t + 3 t 2 e - t

A solução particular é:

Y t = 3 2 t 2 e - t

Resposta

Y t = 3 2 t 2 e - t

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