Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12:

(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada

(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.

10. ( x - 2 ) 2 x + 2 y ' ' + 2 x y ' + 3 ( x - 2 ) y = 0

Passo 1

a) Beleza, os pontos onde o primeiro termo zera são x = 2 e x = - 2 . Para mostrarmos que são pontos singulares regulares, a gente escreve a equação na forma:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Dividimos tudo por P ( x ) e multiplicamos por x - 2 2 para o caso de x = 2 e para x = - 2 a gente faz x + 2 2 , isso é o mesmo que deslocar a singularidade para a origem. Para o primeiro ponto a equação fica o seguinte:

( x - 2 ) 2 y ' ' + ( x - 2 ) ( x - 2 ) Q x P x y ' + ( x - 2 ) 2 R x P x y = 0

Cada função é:

P x = ( x - 2 ) 2 x + 2

Q x = 2 x

R x = 3 ( x - 2 )

Então aplicamos o limite com x tendendo para o ponto singular sobre os termos que envolvem as razões de P ( x ) , se esse limite tender para infinito, significa que a singularidade caracteriza uma irregularidade, assim:

p 0 = lim x → 2 ⁡ ( x - 2 ) Q x P x = lim x → 2 ⁡ ( x - 2 ) ( 2 x ) ( x - 2 ) 2 x + 2 = lim x → 2 ⁡ 2 x ( x - 2 ) ( x + 2 ) → ∞

Como o limite da primeira razão já diverge, a gente não precisa nem calcular a outra, já que o ponto x = 2 já é irregular.

Agora fazemos para x = - 2

p 0 = lim x → - 2 ⁡ ( x + 2 ) Q x P x = lim x → - 2 ⁡ ( x + 2 ) ( 2 x ) ( x - 2 ) 2 x + 2 = lim x → - 2 ⁡ 2 x x - 2 2 = - 1 4

q 0 = lim x → - 2 ⁡ x + 2 2 R x P x = lim x → - 2 ⁡ x + 2 2 3 ( x - 2 ) ( x - 2 ) 2 x + 2 = lim x → - 2 ⁡ 3 ( x + 2 ) x - 2 = 0

Os dois limites resultaram em valores finitos, números, então essa singularidade é regular.

Passo 2

b) Para o ponto singular regular, a gente pode escrever a equação indicial na forma:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

E substituir os p 0 e q 0 que calculamos ao fazermos os limites:

r r - 1 - 1 4 r = 0

r 2 - 5 4 r = 0

Podemos ver que as raízes vão ser:

r 1 = 0

r 2 = 5 4

Sendo elas os expoentes.

Resposta

a   x = - 2

b   r 2 - 5 4 r = 0

r 1 = 0

r 2 = 5 4

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