Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12:

(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada

(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.

11. ( 4 - x 2 ) y ' ' + 2 x y ' + 3 y = 0

Passo 1

a) Os pontos que zeram o primeiro termo, podem ser x = - 2 e x = 2 , eles serão as singularidades da equação dada. Vamos ver se esses pontos são regulares ou não. Para isso, a gente escreve a equação na forma:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Sendo que cada função de x é:

P x = ( x - 2 ) 2 x + 2

Q x = 2 x

R x = 3

Agora a gente divide tudo por P ( x ) e depois multiplicamos pelo quadrado da variável, mas como o ponto singular não é no 0 , precisamos ‘transladar’ ele para a origem, então para cada singularidade a gente faz x - x 0 2

( x - x 0 ) 2 y ' ' + ( x - x 0 ) ( x - x 0 ) Q x P x y ' + ( x - x 0 ) 2 R x P x y = 0

Os termos que envolvem as razões de P ( x ) podem fazer com que a equação divirja para infinito, então precisamos aplicar os limites sobre as razões com x → x 0 para checarmos se isso acontece ou não, caso não aconteça a singularidade vai ser regular.

Primeiro fazemos para x = 2 :

p 0 = lim x → 2 ⁡ ( x - 2 ) Q x P x = lim x → 2 ⁡ ( x - 2 ) ( 2 x ) ( 4 - x 2 ) = lim x → 2 ⁡ 2 x ( x - 2 ) ( 2 - x ) ( 2 + x ) = lim x → 2 ⁡ - 2 x ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( 2 + x )

p 0 = lim x → 2 ⁡ - 2 x 2 + x = - 1

q 0 = lim x → 2 ⁡ x - 2 2 R x P x = lim x → 2 ⁡ x - 2 2 ( 3 ) ( 4 - x 2 ) = lim x → 2 ⁡ x - 2 x - 2 ( 3 ) ( 2 - x ) ( 2 + x )

q 0 = lim x → 2 ⁡ - x - 2 x - 2 ( 3 ) ( x - 2 ) ( 2 + x ) = lim x → 2 ⁡ - x - 2 ( 3 ) ( 2 + x ) = 0

Os dois limites deram um número, nossa singularidade é regular.

Agora fazemos para x = - 2

p 0 = lim x → - 2 ⁡ ( x + 2 ) Q x P x = lim x → - 2 ⁡ ( x + 2 ) ( 2 x ) ( 4 - x 2 ) = lim x → - 2 ⁡ 2 x ( x + 2 ) ( 2 - x ) ( 2 + x )

p 0 = lim x → - 2 ⁡ 2 x ( x + 2 ) ( 2 - x ) ( x + 2 ) = lim x → - 2 ⁡ 2 x 2 - x = - 1

q 0 = lim x → - 2 ⁡ x + 2 2 R x P x = lim x → - 2 ⁡ x + 2 2 ( 3 ) ( 4 - x 2 ) = lim x → - 2 ⁡ x + 2 x + 2 ( 3 ) ( 2 - x ) ( 2 + x )

q 0 = lim x → - 2 ⁡ x + 2 x + 2 ( 3 ) ( 2 - x ) ( x + 2 ) = lim x → - 2 ⁡ - x + 2 ( 3 ) ( 2 - x ) = 0

Nesse caso, os limites também são finitos, isso significa que a singularidade é regular.

Passo 2

b) Para cada ponto, podemos escrever a equação indicial na forma:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

Como o p 0 e o q 0 deram iguais para as duas singularidades, a equação indicial vai ser a mesma para cada ponto:

r r - 1 - r = 0

r 2 - 2 r = 0

As raízes serão:

r 1 = 0

r 2 = 2

Elas serão os expoentes das singularidades na solução.

Resposta

a   x = - 2

x = 2

b   r 2 - 2 r = 0

r 1 = 0

r 2 = 2

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