Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12:

(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada

(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.

3. x x - 1 y ' ' + 6 x 2 y ' + 3 y = 0

Passo 1

a) Os pontos singulares, ou seja, que zeram o primeiro termo da equação, são x = 0 e x = 1 . Para mostrarmos que eles são regulares, precisamos escrever a equação como:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Dividindo equação por P ( x ) e multiplicando por x 2 , ela fica:

x 2 y ' ' + x x Q x P x y ' + x 2 R x P x y = 0

Com

P x = x ( x - 1 )

Q x = 6 x 2

R x = 3

Vamos primeiro aplicar o limite x → 0 :

p 0 = lim x → 0 ⁡ x Q x P x = lim x → 0 ⁡ x ( 6 x 2 ) x ( x - 1 ) = lim x → 0 ⁡ ( 6 x 2 ) ( x - 1 ) = 0

q 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 ( 3 ) x ( x - 1 ) = lim x → 0 ⁡ 3 x ( x - 1 ) = 0

Como os limites são finitos, o primeiro ponto é singular regular.

Agora repetimos o processo para x → 1 , mas dessa vez multiplicamos a equação por x - 1 2 ao invés de x 2 , os limites então ficam:

p 0 = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) Q x P x = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) ( 6 x 2 ) x ( x - 1 ) = lim x → 1 ⁡ 6 x 1 = 6

q 0 = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) 2 R x P x = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) 2 ( 3 ) x ( x - 1 ) = lim x → 1 ⁡ 3 ( x - 1 ) x = 0

Esse também vai ser um ponto singular regular.

Passo 2

b) Vamos encontrar os expoentes do ponto x = 0 . Pela definição da equação indicial:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

Substituindo p 0 e q 0 que obtivemos pelos limites:

r r - 1 = 0

As raízes da equação serão:

r 1 = 1

r 2 = 0

E encontramos os expoentes.

Agora para x = 1 , a gente repete o processo, mas substitui p 0 e q 0 correspondente ao que calculamos para esse ponto:

r r - 1 + 6 r = 0

r 2 + 5 r = 0

r r + 5 = 0

As raízes então serão:

r 1 = 0

r 2 = - 5

Resposta

x = 0

  r ( r - 1 ) = 0

r 1 = 1

r 2 = 0

x = 1

r r + 5 = 0

r 1 = 0

r 2 = - 5

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