Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12:

(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada

(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.

12. x x + 3 2 y ' ' - 2 x + 3 y ' - x y = 0

Passo 1

a) Vamos começar olhando quais valores de x zeram o termo y ' ' na equação. Eles serão x = - 3 e x = 0 . Esses pontos são chamados de pontos singulares. Para sabermos se eles são regulares ou não, precisamos reescrever a equação de uma maneira que fique visível, se esses pontos fazem a equação divergir ou não. Começamos então escrevendo a equação como:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

As funções que adicionamos substituem os termos que acompanham y e suas derivadas:

P x = x x + 3 2

Q x = - 2 ( x + 3 )

R x = - x

Dividindo toda a equação por P ( x ) e multiplicando por x - x 0 2 , onde x 0 é o ponto singular, a equação fica:

( x - x 0 ) 2 y ' ' + ( x - x 0 ) ( x - x 0 ) Q x P x y ' + ( x - x 0 ) 2 R x P x y = 0

Agora temos uma maneira de visualizar se a singularidade faz a equação divergir ou não, se os limites sobre os termos que envolvem as razões de P ( x ) tenderem para infinito, significa que a singularidade é irregular, se não, é regular.

Começamos com x = 0 :

p 0 = lim x → 0 ⁡ x Q x P x = lim x → 0 ⁡ x ( - 2 x + 3 ) x x + 3 2 = lim x → 0 ⁡ - 2 x + 3 x + 3 2 = lim x → 0 ⁡ - 2 x + 3 = - 2 3

q 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 ( - x ) x x + 3 2 = lim x → 0 ⁡ - x 2 x + 3 2 = 0

Para esse ponto, os dois limites são resultam em números, então ele é uma singularidade regular

Para x = - 3 , temos:

p 0 = lim x → - 3 ⁡ ( x + 3 ) Q x P x = lim x → - 3 ⁡ ( x + 3 ) ( - 2 x + 3 ) x x + 3 2 = lim x → - 3 ⁡ - 2 x + 3 x ( x + 3 ) lim x → - 3 ⁡ - 2 x = 2 3

q 0 = lim x → - 3 ⁡ x + 3 2 R x P x = lim x → - 3 ⁡ x + 3 2 ( - x ) x x + 3 2 = lim x → - 3 ⁡ - 1 = - 1

Os limites também são finitos para esse ponto, então ele também é regular.

Passo 2

b) Bom, a equação indicial para pontos singulares regulares pode ser escrita na forma geral como:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

Como p 0 e q 0 diferem para cada ponto, vamos começar com x = 0 , substituindo os valores que calculamos através dos limites:

r r - 1 - 2 3 r = 0

r 2 - 5 3 r = 0

As raízes serão:

r 1 = 0

r 2 = 5 3

E para o ponto x = - 3 :

r r - 1 + 2 3 r - 1 = 0

r 2 - 1 3 r - 1 = 0

Usando Bhaskara, as raízes ficam:

r = 1 ± 37 6

Resposta

x = 0

r 2 - 5 3 r = 0

r 1 = 0

r 2 = 5 3

x = - 3

r 2 - 1 3 r - 1 = 0

r = 1 ± 37 6

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