Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12:

(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada

(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.

7. x 2 y ' ' + 1 2 x + s e n x y ' + y = 0

Passo 1

a) O único ponto singular é x = 0 , já que ele zera o termo de segunda ordem da E.D.O., para sabermos se esse ponto é regular, vamos escrever a equação da seguinte forma:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Dividir equação por P ( x ) e multiplicar por x 2 , deixa ela assim:

x 2 y ' ' + x x Q x P x y ' + x 2 R x P x y = 0

Onde:

P x = x 2

Q x = 1 2 ( x + s e n x )

R x = 1

Agora aplicamos o limite para x → 0 em cada termo que pode causar uma descontinuidade:

p 0 = lim x → 0 ⁡ x Q x P x = lim x → 0 ⁡ 1 2 x ( x + s e n x ) x 2

p 0 = lim x → 0 ⁡ 1 2 x 2 x 2 + lim x → 0 ⁡ 1 2 x s e n x x 2 = 1 2 + lim x → 0 ⁡ 1 2 s e n x x

Aplicando L’Hôpital no segundo limite:

lim x → 0 ⁡ 1 2 s e n x x = lim x → 0 ⁡ 1 2 c o s x 1 = 1 2

Então:

p 0 = 1 2 + 1 2 = 1

E para o outro termo da equação:

q 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 ) x 2 = lim x → 0 ⁡ 1 = 1

Como os dois limites são finitos, isso significa que o ponto é uma singularidade regular.

Passo 2

b) Para encontrarmos a equação indicial, escrevemos ela na forma padrão:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

Substituímos p 0 e q 0 que já calculamos:

r r - 1 + 1 r + 1 = 0

r 2 + 1 = 0

As raízes serão:

r = ± i

Que serão os expoentes na singularidade.

Resposta

a   x = 0

b   r 2 + 1 = 0

r = ± i

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