Enunciado

Em cada um dos Problemas 13 e 14, resolva o sistema de equações dado pelo método do Problema 19 da Seção 7.5. Suponha que t > 0.

t x ' = 3 - 4 1 - 1 x

Passo 1

a)Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 3 - 4 1 - 1 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = 3 - r - 4 1 - 1 - r

det ⁡ A - r I = r 2 - 2 r + 1

Tendo as raízes:

r 1 = 1

r 2 = 1

Passo 2

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = 1 , temos:

A - r I ξ = 0

2 - 4 1 - 2 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

ξ 1 - 2 ξ 2 = 0

Para r = 1 :

ξ 1 = 2 1

x ( 1 ) t = 2 1 ∙ e t

Passo 3

Para podermos calcular a segunda solução linear, teremos que generalizar um vetor próprio:

2 - 4 1 - 2 ∙ η 1 η 2 = 2 1

Temos que:

η 1 - 2 η 2 = 1

Assumindo η 2 = k , teremos:

η 1 = 1 + 2 k

Antes de prosseguirmos, vamos lembrar que podemos assumir u = ln ⁡ t   e transformar a equação inicial coeficiente constante da equação linearmente independente da viável u .

E assim poderemos obter a segunda solução pela multiplicação da primeira solução pela nosso novo fator u . Isto implica que iremos multiplicar a primeira solução pelo fator ln ⁡ t .

Portanto, aplicando a segunda solução para autovalores repetidos:

x 2 = 2 1 t ln ⁡ t + 1 + 2 k k t = 2 1 t ln ⁡ t + 1 0 t + k 2 1 t

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 2 1 t + c 2 2 1 t ln ⁡ t + 1 0 t

Resposta

x = c 1 2 1 t + c 2 2 1 t ln ⁡ t + 1 0 t

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