Enunciado

Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eq.

(22) no texto. Suponha que m 1   =   1 ,   m 2   =   4 / 3 ,   k 1   =   1 ,   k 2   =   3   e   k 3   =   4 / 3 .

(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações de primeira ordem da forma y ’ = A y . Determine a matriz de coeficientes A .

(b) Encontre os autovalores e autovetores de A .

(c) Escreva a solução geral do sistema.

(d) Descreva os modos fundamentais de vibração. Para cada modo fundamental, desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y1y3 e y2y4.

(e) Considere as condições iniciais y ( 0 )   =   2 ,   1 ,   0 ,   0 T . Calcule as constantes arbitrárias na

solução geral do item (c). Qual é o período do movimento nesse caso? Desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y1y3 e y2y4. Certifique-se de que você compreende como as trajetórias são percorridas durante um período completo.

(f) Considere outras condições iniciais de sua escolha e desenhe gráficos semelhantes aos

pedidos no item (e).

Passo 1

b)Vamos encontrar agora os autovalores da nossa matriz A , utilizando esta relação:

det ⁡ A - r I = 0

0 0 1 0 0 0 0 1 - 4 3 0 0 9 4 - 13 4 0 0 - r 0 0 0 0 r 0 0 0 0 r 0 0 0 0 r = 0

- r 0 1 0 0 - r 0 1 - 4 3 - r 0 9 4 - 13 4 0 - r = 0

Passo 2

Vamos reduzir a matriz para encontramos seu determinante:

- r 0 1 0 0 - r 0 1 - 4 3 - r 0 9 4 - 13 4 0 - r = 0

- r 0 1 0 0 - r 0 1 0 3 - r 2 - 4 r 0 0 - 13 4 9 4 r - r = 0

- - r 0 1 0 0 - r 0 1 0 0 - r 2 - 4 r 3 r 0 0 9 4 r - 4 r 2 - 13 4 r = 0

- - r 0 1 0 0 - r 0 1 0 0 9 4 r - 4 r 2 - 13 4 r 0 0 - r 2 - 4 r 3 r = 0

- - r 0 1 0 0 - r 0 1 0 0 9 4 r - 4 r 2 - 13 4 r 0 0 0 - 4 r 4 - 29 r 2 - 25 9 r = 0

Com a matriz escalonada basta fazer o produto da diagonal principal que teremos o determinante:

1 4 r 2 + 1 4 r 2 + 25 = 0

Resolvendo esta equação temos que os autovalores

r 2 + 1 = 0

r = ±   - 1

r 1 = i

r 2 = - i

4 r 2 = - 25

r = ± - 25 4

r 3 = 5 2 i

r 4 = - 5 2 i

Passo 3

Agora que possuímos os autovalores vamos determinar os autovetores para cada um deles associados.

Assumindo que:

y = ξ e r t

- r 0 1 0 0 - r 0 1 - 4 3 - r 0 9 4 - 13 4 0 - r ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

Aplicando para r = ± i temos:

∓ i 0 1 0 0 ∓ i 0 1 - 4 3 ∓ i 0 9 4 - 13 4 0 ∓ i ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

Reduzindo a matriz temos:

∓ i 0 1 0 0 ∓ i 0 1 - 3 3 0 0 9 4 - 13 4 0 ∓ i ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

∓ i 0 1 0 0 ∓ i 0 1 - 3 3 0 0 9 4 - 9 4 0 ∓ i ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

∓ i 0 1 0 0 ∓ i 0 1 - 3 3 0 0 0 0 0 0 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

Resumindo o sistema para:

∓ i ξ 1 = - ξ 3

∓ i ξ 2 = - ξ 4

- 3 ξ 1 - - 3 ξ 2

Resultando nos seguintes autovetores:

ξ 1 = 1 1 i i

ξ 2 = 1 1 - i - i

Passo 4

- r 0 1 0 0 - r 0 1 - 4 3 - r 0 9 4 - 13 4 0 - r ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

Aplicando para r = ± i 5 2 temos:

∓ i 5 2 0 1 0 0 ∓ i 5 2 0 1 - 4 3 ∓ i 5 2 0 9 4 - 13 4 0 ∓ i 5 2 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

E lá vamos nós reduzir a matriz novamente:

∓ i 5 2 0 1 0 0 ∓ i 5 2 0 1 9 4 3 0 0 9 4 3 0 0 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

∓ i 5 2 0 1 0 0 ∓ i 5 2 0 1 9 4 3 0 0 0 0 0 0 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

Reduzindo o sistema em:

∓ 5 2 i ξ 1 = - ξ 3

∓ 5 2 i ξ 2 = - ξ 4

9 4 ξ 1 = - 3 ξ 2

Para satisfazer esta equação temos que ξ 1 = 4 , ξ 2 = - 3 ,   ξ 3 = ± 10 i e ξ 4 = ∓ 15 2 i

E o autovetor correspondente a + 5 2 i   é:

ξ 3 = 4 - 3 10 i - 15 2 i

E o autovetor associado a - 5 2   i :

ξ 4 = 4 - 3 - 10 i 15 2 i

Resposta

b)

temos os autovalores:

r 1 = i

r 2 = - i

r 3 = 5 2 i

r 4 = - 5 2 i

E os autovetores:

ξ 1 = 1 1 i i ; ξ 2 = 1 1 - i - i ; ξ 3 = 4 - 3 10 i - 15 2 i ; ξ 4 = 4 - 3 - 10 i 15 2 i

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Em cada um dos problemas de 7 a 10:(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.(b) Desenhe a trajetória da solução no plano x1x2 e desenhe, também, o gráfico de x1 em função de t. x ' = 1
Nos Problemas 5 e 6, encontre a solução geral do sistema de equações dado. x ' = 1 1 1 2 1 - 1 0 - 1 1 x
Em cada um dos Problemas 13 e 14, resolva o sistema de equações dado pelo método do Problema 19 da Seção 7.5. Suponha que t0. t x ' = 3 - 4 1 - 1 x
Mostre que todas as soluções do sistema x ' = a b c d x tendem a zero quando t → ∞ se, e somente se,a+d0 e a d–b c0 . Compare esse resultado com o do Problema 37 na Seção 3.4.
Em cada um dos problemas de 1 a 4:(a) Desenhe um campo de direções e esboce algumas trajetórias.(b) Descreva como as soluções se comportam quando t→∞ .(c) Encontre a solução geral do sistema de equaçõ