Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 18:

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier da função dada.

f x = - x ,     - L ≤ x < L ; f x + 2 L = f ( x )

Passo 1

(a) O gráfico pode ser dado por um CAS (caso do Geogebra, Desmos, Symbolab).

O gráfico esboçado é dado por:

Passo 2

(b) Esta função é periódica com o período 2 L .

Assim, neste caso, L da fórmula (1) na página 597 e L do problema são os mesmos, e a série de Fourier tem a forma:

f x = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ m π x L + b m sen ⁡ m π x L

Observe que f ( x ) é uma função ímpar ( f ( - x )   =   - f ( x ) ) . Conforme descrito em (8) na página 616, temos:

a n = 0 ,         n = 0,1 , 2 …

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x   ,   n = 1,2 …

Então:

b n = 2 L ∫ 0 L - x sen ⁡ n π x L d x

Logo:

= 2 L - L 2 π 2 n 2 - n π x L cos ⁡ n π x L + sen ⁡ n π x L 0 L

= 2 L n π x n π = 2 L - 1 n n π

Finalmente, substituímos os coeficientes pela fórmula e obtemos:

f x = 2 L π ∑ m = 1 ∞ - 1 n n sen ⁡ n π x L

Resposta

f x = 2 L π ∑ m = 1 ∞ - 1 n n sen ⁡ n π x L

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Em cada um dos problemas de 19 a 24: (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos. (b) Encontre a série de Fourier da função dada. f x = - 1,- 2 ≤ x0 1 ,0 ≤ x2 f x + 4 = f ( x )
Considere a função f definida no problema 24, e seja e m = f x - s m ( x ) . f x = 0 , - 3 ≤ x ≤ 0 , x 2 3 - x , 0x3 (a) Faça o gráfico de e m ( x ) em função de x para 0 ≤ x ≤ 3 para diversos valores
Considere a função f definida no problema 21, e seja e m = f x - s m ( x ) . f x = x 2 2 ,- 2 ≤ x2 f x + 4 = f ( x ) (a) Faça o gráfico de e m ( x ) em função de x para 0 ≤ x ≤ 2 para diversos valores
Se f for diferenciável e periódica com período T , mostre que f ' também é periódica com período T . Determine se F x = ∫ 0 x f t d t É sempre periódica.
f x = x ,- 1 ≤ x1 f x + 2 = f ( x ) (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.(c) Faça o gráfico da soma parcial s m ( x ) em função de