Lista de Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Encontre a série de Fourier para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

f x = x                 0 ≤ x < 1 1             1 ≤ x < 2

Série de senos, período 4 .

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Determine c 1 , c 2 ∈ R de modo que

∫ 0 π cos ⁡ x - c 1 sen ⁡ x - c 2 sen ⁡ 2 x 2 d x

Seja mínimo.

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Seja f x = x 2 - 1 ,   x ∈ ( 0 , π )

a)Determine a série de Fourier de senos de f

b)Mostre que a série de Fourier de senos de f converge para uma função S : R → R e esboce o gráfico da função em [ - 2 π ,   2 π ]

c)Determine S 1863 π 2

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Seja f a função ímpar, periódica de período 2 π e tal que f x = π - x se 0 ≤ x ≤ π .

( a ) Encontre a série de Fourier de f .

( b ) Mostre que

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 = π 4

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Seja f : R → R uma função de período 2 π tal que f x = π - x 2 para todo x ∈ 0 , π .

  1. Sabendo que f é uma função ímpar, determine a expressão de f no intervalo [ - π , 0 ] .
  2. Determine a série de Fourier da função f .
  3. Usando o item (b), calcule a soma da série numérica ∑ n = 1 ∞ s e n   n n . Justifique sua resposta.

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Encontre a série de Fourier para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

f x = 1     s e   0 ≤ x < 1 0       s e   1 ≤ x < 2

Série em cossenos, período 4 .

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Considere a função

f x = 0 s e x ∈ - π , - π 2 ∪ π 2 , π 2 x s e x ∈ - π 2 , π 2

  1. Determine a série de Fourier de f
  2. Se S x é a soma da série encontrada em a), esboce o gráfico de S no intervalo - 3 π , 3 π , calcule S 39 π 2 e S 1223 π 8

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Sendo

f x = 1 0 ≤ x ≤ π 2 0 π 2 < x ≤ π

  1. Determine a série de Fourier de cossenos da função f x
  2. Esboce o gráfico da função y = S x .
  3. Determine S 12 e S 37 π

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  1. Considere a função f :   R → R de período 2 definida por f x = 1 - x 2 , para x ∈ [ - 1,1 ] . Determinar a série de Fourier da função f .
  2. Usando o item (a), calcular a soma da série ∑ n = 1 + ∞ - 1 n n 2 . Justifique a sua resposta.

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Seja f uma função 2 π - periódica, tal que f x = | sen ⁡ ( x ) | se x ∈ [ - π , π ) .

  1. Esboce o gráfico de f no intervalo [ 0 ,   2 π ] .
  2. Calcule a série de Fourier da função f .

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Seja f x = 1 + x ,           0 < x < 1 .

  1. Determine uma extensão ímpar periódica de período 2 de f .
  2. Determine a série de Fourier de senos que representa f para 0 < x < 1 .
  3. Determine o gráfico da série de Fourier obtida no item (b) no intervalo [ - 3 ,   3 ] .

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Seja f : 0,2 → R

f x = x ,         s e   0 ≤ x ≤ 1 2 ,         s e   1 < x < 2 0 ,                           s e   x = 2

  1. Estenda f como função ímpar periódica de período 4 para R .
  2. Faça o gráfico de f estendida no intervalo [ - 2,6 ] .
  3. Encontre a série de Fourier de f . Justifique a convergência da série de Fourier.
  4. Faça o gráfico da função para a qual a série de Fourier converge no intervalo [ - 2,6 ] .

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Seja f : R → R uma função de período 2 π tal que f x = π - x 2 para todo x ∈ 0 , π .

  1. Sabendo que f é uma função ímpar, determine a expressão de f no intervalo [ - π , 0 ] .
  2. Determine a série de Fourier da função f .
  3. Usando o item (b), calcule a soma da série numérica ∑ n = 1 ∞ s e n   n n . Justifique sua resposta.

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Considere a função f x = π - 2 x 4 , 0 < x < π .

  1. Determine uma série de Fourier em senos para a função f ( x ) .
  2. Esboce o gráfico da função para a qual a série de Fourier obtida no item (a) converge no intervalo - 2 π ≤ x ≤ 2 π . Justifique sua resposta.

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Seja f a função ímpar, periódica de período 2 π e tal que f x = π - x se 0 ≤ x ≤ π .

( a ) Encontre a série de Fourier de f .

( b ) Mostre que

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 = π 4

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( a ) Determine a extensão ímpar da função f x = 25 para 0 < x < 5 .

( b ) Encontre a série de Fourier de senos da extensão ímpar da função f x = 25 para 0 < x < 5 .

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Questão 1:

a) Determine a série de Fourier em cossenos da função f : 0 ,   1 → R , f x = 2 x - x 2 .

b) Utilizando o resultado em parte (a) e o teorema de convergência de Fourier, demonstre que

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

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Questão 12: Seja f : 0 ,   2 → R definida por

f x = x                               s e                   x ∈ [ 0 ,   1 ]   2 - x                 s e                     x ∈ ] 1,2 ]

O terceiro coeficiente b 3 da série de senos de f x é igual a:

  1. - 8 9 π 2
  2. - 4 9 π 2
  3. - 16 9 π 2
  4. - 8 3 π
  5. - 4 3 π

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Seja f : 0,2 → R , a função definida por

f x = 0   s e   0 ≤ x ≤ 1 1   s e   1 < x ≤ 2

  1. Determine a série de Fourier em cossenos de f
  2. Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item (a) no intervalo [0,6]
  3. Calcule o valor da série

∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1

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Seja

f x = 0 0 < x ≤ 1 2 1 < x ≤ 2 0 2 < x < 3

b) Estenda f x para todos os outros valores reais de x como uma função ímpar e periódica de período 6 . Esboce o gráfico da extensão.

c) Calcule a série de Fourier da extensão ímpar de f x .

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Seja f : 0,2 → R a função definida por

f x = x s e 0 ≤ x ≤ 1 2 - x s e 1 < x ≤ 2

a) Determine a série de Fourier em senos de f

b) Esboce o gráfico da série de Fourier, obtida no item anterior, no intervalo - 2,2

c) Calcule o valor da série

∑ m = 0 ∞ 1 2 m + 1 2

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Seja f : R → R a função periódica de período 2 π , tal que f x = - 1   s e - π < x ≤ 0 e f x = 1 se 0 < x ≤ π

  1. Determine a série de Fourier da função f
  2. Usando a) calcule a soma da série numérica ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1

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Seja

f x = 0 0 < x ≤ 2 x 2 < x ≤ 3

Encontre uma série de Fourier de senos que convirja para a função f x (Sugestão: considere a extensão ímpar de f x ). Para que valor converge essa série em x = 2 ?

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Seja

f x = 0 0 < x ≤ 2 x 2 < x ≤ 3

Encontre uma série de Fourier de cossenos que convirja para a função f x (Sugestão: considere a extensão par de f x ). Para que valor converge essa série em x = 2 ?

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Seja

f x = 0 0 < x ≤ 1 2 1 < x ≤ 2 0 2 < x < 3

a) Estenda f x para todos os outros valores reais de x como uma função par e periódica de período 6 . Esboce o gráfico da extensão.

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a) Apresente a extensão ímpar e periódica de período P = 2 L = 2 π de f x :

f x = x ,     0 ≤ x ≤ π

b) Encontre a série de Fourier de senos da função do item (a)

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Seja:

f x = 0 ,     0 < x < 2 5 ,     2 < x < 4 3 ,     4 < x < 6

  1. Esboce o gráfico da extensão par e periódica de período 12 de f x . Defina a função nos pontos de descontinuidade de forma que sua série de Fourier convirja para esse valor
  2. Calcule a série de Fourier da extensão par de f x determinada no item a

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Seja:

f x = 0 ,     0 < x < 1 3 ,     1 < x < 2 6 ,     2 < x < 3

  1. Esboce o gráfico da extensão ímpar e periódica de período 6 de f x . Defina a função nos pontos de descontinuidade de forma que sua série de Fourier convirja para esse valor
  2. Calcule a série de Fourier da extensão ímpar de f x determinada no item a

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Seja:

f x = 0 ,     0 < x < 1 3 ,     1 < x < 2 6 ,     2 < x < 3

  1. Esboce o gráfico da extensão par e periódica de período 6 de f x . Defina a função nos pontos de descontinuidade de forma que sua série de Fourier convirja para esse valor
  2. Calcule a série de Fourier da extensão par de f x determinada no item a

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Seja:

f x = 0 ,     0 < x < 2 5 ,     2 < x < 4 3 ,     4 < x < 6

  1. Esboce o gráfico da extensão ímpar e periódica de período 12 de f x . Defina a função nos pontos de descontinuidade de forma que sua série de Fourier convirja para esse valor
  2. Calcule a série de Fourier da extensão ímpar de f x determinada no item a

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Seja f   :   [ 0 ,   4 ]   →   R a funcão definida por

f x = 2 x ,     0 ≤ x < 2 2 x - 8 ,     2 ≤ x ≤ 4

a Determine a série de Fourier em senos de f .

b Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item ( a ) no intervalo [ - 12 ,   12 ] .

c Calcule o valor da série ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) m   ( 2 m   +   1 )

Dica: cos ⁡ m π 2 = 0 para m ímpar e sen ⁡ m π 2 = 0 para m par.

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Seja f x = s e n π x 2 para x ∈ [ 0,1 ] .

( a ) Calcule a série de Fourier em senos da função f ( x ) .

( b ) Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item ( a ) no intervalo [ - 3,3 ] .

c Calcule o valor limite da série

∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 1 + 2 k 1 + 2 k 2 - 1 / 4

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Seja f x = e x - 2 ,     x ∈ ( 0 , π ] .

( a ) Determine a série de senos de f .

( b ) Encontre a soma S ( x ) da série de senos de f e esboce o seu gráfico no intervalo [ - 3 π , 3 π ] .

c Determine S 2117 π 2

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Seja

I c 1 , c 2 , c 3 = ∫ - π π x - ∑ k = 1 1 c k sen ⁡ k x 2 d x

Determine c 1 , c 2 , c 3 que minimizam I .

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Seja f x = x 2 ,   [ 0,1 ] 0 ,     ( 1,2 ]

(a) Ache a série de senos S x da f x

(b) Ache a soma da série de senos e esboce o seu gráfico no intervalo [-6,6].

(c) Ache S ( - 321 ) .

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Seja f x = 1 2 - x para 0 , 1 2 e S ( x ) a soma da série de senos de f . No intervalo I = 11 2 , 13 2 , S ( x ) é dada por:

a   S x = - 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 - 13 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

b   S x = - 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 13 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

c   S x = 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 1 2 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

d   S x = 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 13 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

e   S x = 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 - 13 2 + x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

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A integral

∫ 0 π x - c 1 sen ⁡ x - c 2 sen ⁡ 2 x 2 d x

Assume seu menor valor para c 1 e c 2 , respectivamente iguais a:

a   2   e - 2

b   2   e - 1

c   1   e - 1

d   1   e   0

e - 2   e - 2

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Seja f a função definida por

f x = x 2 , x ∈ [ 0 , π ]

Analise as seguintes afirmações:

1 A série em senos de f é

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 sen ⁡ n x n

( 2 ) A série de cossenos de f é

π 4 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n cos ⁡ n x n 2 π

( 3 ) A série de cossenos de f para x = π converge para π 2

Podemos afirmar que:

( a ) 1 ,   2   e   ( 3 ) são verdadeiras

( b ) Apenas ( 1 ) e ( 3 ) são verdadeiras

( c ) Apenas ( 2 ) e ( 3 ) são verdadeiras

( d ) Apenas ( 1 ) é verdadeira

( e ) Apenas 3 é verdadeira

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( a ) Determine a série de Fourier em cossenos da função

f x = 0   s e   0 ≤ x < 1 x - 1 2   s e   1 ≤ x ≤ 2

( b ) Esboce o gráfico da série de Fourier obtida em ( a ) no intervalo [ - 6,6 ] .

( c ) Calcule o valor da série

∑ m = 1 ∞ - 1 m + 1 m 2

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Seja f : 0,2 → R a função definida por:

f x = 1 ,       0 ≤ x < 1 0 ,       1 ≤ x ≤ 2

  1. Determine a série de Fourier em senos de f .
  2. Esboce o gráfico da série obtida no item (a) no intervalo - 6,6
  3. Calcule o valor da série:

∑ m = 0 ∞ - 1 m 2 m + 1

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Seja f : 0 , π → R a função definida por

f x = e x

  1. Determine a série de Fourier em senos de f .
  2. Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item (a) no intervalo - 3 π , 3 π .
  3. Calcule o valor da série

∑ m = 0 ∞ - 1 m 2 m + 1 1 + 2 m + 1 2 .

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Considere f : 0 , π → R dada por

f x = 0   s e   0 ≤ x < π / 2 x   s e   π / 2 ≤ x ≤ π

  1. Determine a série de Fourier em cossenos de f .
  2. Seja S x a soma da série de cossenos de f , esboce seu gráfico em - 3 π , 3 π .
  3. Sendo S x